Коэффициент подобия кубов как найти

Стереометрия. Страница 7

1. Объем

Объем — это величина, показывающая какое количество пространства занимает тело. Например, объем куба, ребро которого равно единице, равен единице. Объем измеряется в кубических единицах. В каких единицах измерения исчисляются три измерения тела (длина, ширина, высота), в таких единицах измеряется и объем. Например, если ребро куба равно 1 м, то его объем будет равен одному кубическому метру, т.е. 1 м 3 .

Объем прямоугольного параллелепипеда

Пусть даны два прямоугольных параллелепипеда ABCDA’B’C’D’ и ABCDEE’E»E»‘ с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АA’ (Рис.1). Обозначим объем параллелепипеда ABCDA’B’C’D’ — V, а объем параллелепипеда ABCDEE’E»E»‘ — V1.

Разобьем сторону AA’ на большое число n равных частей. Т.е. каждая часть параллелепипеда имеет высоту, равную АA’/ n. Пусть m — число частей, которые укладываются на ребре АЕ.

Возьмем куб объемом одна единица и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a:1:1, a:b:1, a:b:c (Рис.1.1). Обозначим их объемы как V1, V2, V. Тогда можно составить следующие соотношения:

Перемножив эти три равенства почленно, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = abc.

Рис. 1 Объем прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1.1 Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

2.Наклонный параллелепипед

Пусть дан наклонный параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.2). Проведем плоскость через ребро D’C’, перпендикулярную основанию ABCD и построим треугольную призму, у которой грань DD’C’С будет являтся общей с гранью параллелепипеда DD’C’С.

Отсечем точно такую же призму с другой стороны параллелепипеда AA’EBB’F. Отсюда следует, что объем параллелепипеда EFHOA’B’C’D’ равен объему исходного параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Так как мы добавили и отсекли треугольную призму одного и того же размера.

Объем параллелепипеда EFHOA’B’C’D’ равен произведению площади основания EFHO на высоту EA’.

Следует отметить, что если у параллелепипеда две соседние боковые грани находятся под некоторым углом к основанию, т.е. ≠ 90°, то такое преобразование необходимо проделать два раза.

Таким образом, в конечном итоге, можно получить прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые грани находятся под прямым углом к основанию. Такое преобразование сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.

Следовательно, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Рис.2 Наклонный параллелепипед

3.Объем призмы

Пусть дана треугольная призма ABCA’B’C’ (Рис.3). Достроим данную призму до параллелепипеда. Тогда точка пересечения диагоналей (точка О) параллелограмма BB’C’C будет являться точкой симметрии. Следовательно объем призмы будет равен половине объема параллелепипеда.

Так как объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то объем призмы будет равен также произведению площади основания на высоту.

Допустим, что основание призмы есть многоугольник. Тогда его можно разбить на несколько треугольников. Следовательно вся призма будет представлять собой несколько треугольных призм. А общий объем будет равен сумме объемов этих призм.

Таким образом: объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

4. Объем пирамиды

Пусть дана треугольная пирамида ABCS c вершиной S и основанием ABC (Рис.4). Достроим эту пирамиду до треугольной призмы с той же высотой и тем же основанием ABC. Таким образом, треугольная призма будет состоять из трех одинаковых пирамид.
Пирамида ABCS с вершиной S.
Пирамида AECS с вершиной S.
Пирамида CEFS с вершиной S.

Пирамиды AECS и CEFS имеют равные основания AEC и CEF и общую вершину S и соответственно высоту. Следовательно, они имеют равные объемы.

Пирамиды ABCS и CEFS имеют также равные основания ABC и SFE и равные высоты, т.к. основания лежат в параллельных плоскостях.

Отсюда можно сделать вывод, что все три пирамиды имеют один и тот же объем. Таким образом, объем одной пирамиды равен одной трети объема призмы.

Если основание пирамиды представляет собой многоугольник, то его можно разбить на треугольники и объем такой пирамиды можно рассчитать как сумму объемов всех составляющих пирамид, т.к. они все имеют одну и ту же высоту.

Отсюда можно сделать вывод, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Объем усеченной пирамиды

Пусть дана усеченная пирамида ABCA’B’C’ (Рис.4.1). Достроим нашу пирамиду до полной с вершиной O. Тогда объем усеченной пирамиды будет равен разности двух пирамид.

Пусть х — высота полной пирамиды,
h — высота усеченной пирамиды.
S1 — площадь основания полной пирамиды
S2 — площадь основания малой пирамиды

Рис. 4.1 Объем усеченной пирамиды.

5. Равновеликие тела

Два геометрических тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.

Пусть даны две треугольные пирамиды, у которых равные площади оснований и высоты. Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей. Через каждую точку деления проведем плоскость, параллельную основанию. Для каждого слоя пирамиды построим призму, как показано на рисунке 5 а и b. Призма в k — м слое первой пирамиды (а) равна призме в k — 1 слое второй пирамиды (b). Так как у них площади оснований подобны с коэффициентом подобия k/n и высоты равны H/n. Отсюда следует, что они имеют равные объемы.

Пусть:
Va — объем пирамиды а
Vb — объем пирамиды b
Ga — сумма объемов призм пирамиды а
Gb — сумма объемов призм пирамиды b

Тогда суммы объемов Ga и Gb можно рассчитать по формулам:

Если n будет стремиться к бесконечности, то дробь SH/n будет стремиться к нулю. Следовательно:

Если поменять местами пирамиды, то можно получить противоположное неравенство, т.е. Vb ≥ Va . Следовательно, объемы двух пирамид а и b равны, т.е. Vb = Va

Отсюда можно сделать вывод, что две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.

6. Объемы подобных тел

Пусть даны два подобных куба Q1 и Q2 (Рис.6), которые имеют измерения Q1:a,b,c и Q2:ka,kb,kc c коэффициентом подобия k соответственно.

Тогда объем куба Q1 равен V1 = abc,
а объем куба Q2 равен V2 = ka kb kc = k 3 abc = k 3 V1.

Следовательно, отношение объемов двух кубов равно k 3

Если тело представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, то его можно разбить на определенное колическтво призм. И общий объем будет равен сумме обемов всех призм. Так как отношение площадей равно k 2 , а отношение высот этих фигур равно k, то объемы двух подобных фигур будут равны:

Точно так же можно разбить тело на несколько пирамид. Тогда объем всего тела будет равен сумме всех составляющих его пирамид.

Отсюда можно сделать следующий вывод, что отношение объемов двух подобных тел равно кубу их коэффициента подобия.

Рис. 6 Объемы подобных тел.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

7. Пример 1

Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба.

Пусть даны три латунных куба со сторонами 6 м, 8 м и 10 м (Рис.7). Найдем объем каждого куба:

Отсюда следует, что общий объем должен быть равен:

Vобщ = V6 + V8 + V10 = 216 + 512 + 1000 = 1728 м 3

Следовательно, сторону куба можно найти из формулы:

а = 3 = 3 = 12 м.

Рис.7 Задача. Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м.

Пример 2

Измерения прямоугольного бруска 3 м, 4 м и 5 м. Если увеличить каждое ребро на х метров, то поверхность увеличится на 54 м 2 . Как увеличится его объем?

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 3 м, 4 м и 5 м (Рис.8). Найдем его площадь поверхности и объем.

S1 = 2 * ((5 * 4) + (5 * 3) + (4 * 3)) = 94 м 2

Так как площадь поверхности увеличилась на 54 м 2 , то можно составить следующее соотношение:

S2 = 2 * ((5 + х) * (4 + х) + (5 + х) * (3 + х) + (4 + х) * (3 + х)) = 94 + 54 = 148

Корни уравнения: x1 = — 9, x2 = 1

Отсюда следует, что измерения увеличенного бруска составляют 4 м, 5 м и 6 м.

Отсюда, V2 = 6 * 5 * 4 = 120 м 3

Т.е. объем увеличится вдвое.

Рис.8 Задача. Измерения прямоугольного бруска.

Пример 3

Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м 2 . Площадь диагональных сечений 3 м 2 и 6 м 2 . Найдите объем параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб (Рис.9). Обозначим несколько переменных. h = AA’, a = AO, b = OD. Тогда составим следующие соотношения:

SABCD = 2 a b = 1 — площадь ромба;

SBB’D’D = 2 b h = 3 — площадь сечения BB’D’D;

SAA’C’C = 2 a h = 6 — площадь сечения AA’C’C;

Третье уравнение решим относительно h и подставим во второе, затем второе уравнение подставим в первое:

Отсюда, а = 1 м, b = 1 / 2 м, h = 3 м.

Следовательно, объем параллелепипеда равен:

V = 2 ab h = 2 * 1 * 1/2 * 3 = 3 м 3 .

Рис.9 Задача. Основание прямого параллелепипеда — ромб.

Пример 4

Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.

Пусть дана наклонная треугольная призма (Рис.10). Боковое ребро AA’ = 15 м, PC = 25 м, PE = 17 м, EC = 26 м. Сечение РЕС перпендикулярно боковым ребрам. Найдем площадь треугольника РЕС по формуле Герона:

PPEC = (17 + 25 + 26) / 2 = 34 — полупериметр треугольника РЕС.

SPEC 2 = P(P — PE)(P — PC)(P — EC) = 34(34 — 17)(34 — 25)(34 — 26) = 41616

Так как треугольник РЕС лежит в плоскости, которая перпендикулярна ребрам призмы, то его следует рассматривать как проекцию треугольника АВС на плоскость сечения. Проведем прямую а, перпендикулярную стороне АВ. Опустим перпендикуляры ОC и TС к прямой а. Следовательно, угол ТСО = α и будет угол между плоскостями. Таким образом площадь треугольника АВС можно найти из формулы:

Рис.10 Задача. Боковые ребра наклонной треугольной призмы.

Опустим перпендикуляр DS. Треугольники KSC и TDK подобны по двум углам. Следовательно, ∠ОDS = α. А отсюда следует, что DS = OD cos α (где OD = AA’ = 15 м — боковое ребро призмы)

Таким образом, объем призмы можно найти по формуле:

V = DS * SABC = OD cos α * SРЕС / cos α = 15 * 204 = 3060 м 3 .

Пример 5

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 м, 6 м и 8 м. Все боковые ребра равны 9 м. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида (Рис.11). AC = ВС = 6 м, АB = 8 м, SA = SB = SC = 9 м. Найдем площадь основания АВС по формуле Герона:

PАВC = (6 + 6 + 8) / 2 = 10 — полупериметр треугольника ABС.

SABC 2 = P(P — АВ)(P — ВC)(P — АC) = 10(10 — 6) 2 (10 — 8) = 320

SABC = 8 м 2

Найдем радиус описанной окружности:

R = ОС = AB * BC * AC / 4S = 6 2 * 8 / 4 * 8 = 9 / м

По теореме Пифагора найдем SO:

SO 2 = SC 2 — CO 2 = 9 2 — (9 / ) 2 = 324 / 5

SO = 18 / м

Теперь объем пирамиды найдем по формуле:

V = SABC * SO / 3 = 8 * 18 / / 3 = 48 м 3 .

Рис.11 Задача. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник.

Источник

Коэффициент подобия кубов как найти

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 9. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 81.

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

где P – периметр основания, а h –апофема. Поскольку все ребра уменьшились в два раза, следовательно, периметр и апофема тоже уменьшились в два раза. Следовательно, площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности пирамиды равны сумме площадей боковых граней. Если все ребра уменьшить в два раза, то каждая боковая грань исходной пирамиды будет подобна боковой грани получившейся пирамиды с коэффициентом подобия 2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому площадь каждой грани получившейся пирамиды будет в 4 раза меньше площади соответствующей грани исходной пирамиды. Следовательно, площадь боковой поверхности получившейся пирамиды равна

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

а) Проведем — перпендикуляр из точки P к хорде AC и DH2 — перпендикуляр из точки D к прямой AC. По условию, AD = PC, DH2 = PH1, следовательно, треугольники ADH2 и СPH1 равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким образом, прямые AD и BC параллельны, а четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Следовательно, треугольник BTC равнобедренный, поэтому TP — его медиана, а значит, BP = PC. Площади четырехугольников ABPD и APCD равны, так как это равные параллелограммы. Что и требовалось доказать.

б) Из отношения получим, что треугольники BTC и ATD подобны с коэффициентом 2 : 1, значит,

Из подобия следует, что Из отношения найдем, что Вычислим площадь трапеции ABCD:

Заметим теперь, что где h — высота трапеции. Поскольку

находим:

Ответ: б)

Здравствуйте! Простите, но по-моему в решение закралась ошибка. Отношение площадей треугольников ATD и ATB не равно отношению их сторон, т.к. такое отношение имеет место быть только если у треугольников есть общее основание (и тогда их площади относятся, как высоты, проведённые к этому основанию) или если треугольники имеют общую высоту (тогда их площади относятся, как основания, к которым проведена эта высота). Ничего подобного в ходе решения получено не было, чтобы говорить о таком отношении.

К тому же, на мой взгляд, в нахождении площади трапеции ABCD для решения нет нужды. Ведь ADCP и ADBP — это параллелограмы (AD//BC и равно ему), а, следовательно, их площадь равна произведению PH3 (где точка H3 — продолжение высоты PH2 до пересечения с основанием AD) на AD, т.е. S(adcp)=PH3*AD, а площадь треугольника ADT=3=0,5*TH3*AD,

но, т.к. треугольники ADT и BCP подобны, то их высоты относятся, как стороны, то есть, как 1:2, а, следовательно, PH3=3TH3.

Имеем: S(adcp)=PH3*AD=3TH3*AD, S(adt)=0,5*TH3*AD=3. Из последнего уравнения находим, что TH3*AD=6, и, подставив его в первое, находим, что площадь ADCP=3*6=18

Здравствуйте, Екатерина! Спасибо, поправили решение. Там в конце закралась арифметическая ошибка. Что касается Вашего замечания, то у треугольников ADT и ATB, действительно, общая высота, проведенная из вершины А, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований DT и TB.

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 5. Площади поверхности подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь поверхности большего куба в 25 раз больше площади поверхности меньшего куба.

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

В условии указано 3:6, почему в решении 3:9?

Вся высота имеет длину 3 + 6 = 9. Поэтому отношение высоты маленького конуса к высоте большого равно 3 : 9. Поскольку фигуры подобны, то отношение радиусов будет таким же.

Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 1.

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдем отношение объемов шаров:

откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где точка пересечения отрезков AD и CK.

а) Поскольку основания трапеции AD и BC параллельны, а её высота то а значит, вписанный угол KBC, равны 90°, опирается на диаметр CK, на который опирается и вписанный угол CAK . Поэтому

б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть а катет

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит,

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Ответ:

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector