Как вычислить куб разности чисел

Как использовать куб разности

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула куба разности.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Формула куб разности не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3

Как возвести в куб разность

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен, который содержит разность.

Используем формулу куба разности. Только вместо « a » у нас будет « 2y », а вместо « b » будет « x ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Применение куба разности для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба разности.

Обратите внимание, что многочлен « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « y ».

Используем для многочлена « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » формулу куба разности.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » в виде « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».

Обратим внимание, что « 8y 3 » — это « (2y) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 2y ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 27 ». Вспомним, что « 27 » — это « 3 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 3 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 36y 2 » и « 54y ». При сравнении многочлена с кубом разности « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 36y 2 » и « 54y » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 2y », а « b » — это « 3 ».

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 36y 2 » и « 54y ».

• 36y 2 = 3 · (2y) 2 · 3 = 3 · 4y 2 · 3 = 12y 2 · 3 = 36y 2 (верно)
• 54y = 3 · 2y · (3) 2 = 3 · 2y · 9 = 6y · 9 = 54y (верно)

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » является правой частью формулы куба разности
« (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».

Используем формулу куба разности и решим пример до конца.

Источник

Формулы куба суммы и куба разности

Куб разности и суммы чисел

Вычисление куба суммы и разности чисел необходимы во всех разделах математики. Они применяются при решении многих неравенств и уравнений, упрощении выражений, разложении многочленов, вычислении пределов, сокращении дробей, решении интегралов.

Поэтому необходимо уметь их выводить, понимать смысл и уметь применять на практике.

Правило для куба суммы

Возведем в куб сумму чисел a и b. Для этого распишем выражение в виде многочлена:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Воспользуемся формулой квадрата суммы и получим следующее выражение:

Теперь умножаем многочлен на многочлен и получаем:

Упростим получившиеся выражение и получим формулу куба суммы:

Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого, утроенного произведения квадрата первого на второе, утроенного произведения первого на квадрат второго и куб третьего.

Правило для куба разности

При любых значениях b и c верно равенство:

Докажем его. Для этого разложим куб разности двух чисел на множители:

Теперь умножим многочлен на многочлен и упростим выражение:

Таким образом, выведенное тождество верно для любых значений переменных b, c и называется формулой куба разности \(\left(b-c\right)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\)

Она читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Куб разности трех чисел

Нередко при решении различных задач возникает необходимость вычислить куб разности трех чисел. Чтобы облегчить мыслительную работу можно вывести формулу и для этого случая:

Сложив подобные слагаемые придадим полученной формуле более удобный вид:

Она называется правилом куба разности трехчлена.

Аналогично можно вывести и формулу куба суммы трехчлена:

Примеры задач куба разности и суммы

Раскрыть скобки \(\left(2x-3y^2\right)^3\)

Если внимательно посмотреть на эту дробь, то можно увидеть, что в знаменателе представлен квадрат разности, а в числителе – куб разности.

Источник

Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство «читается» как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки данной формулы умножим двучлен $a-b$ на $(a-b)^<2>$: $(a-b)^<3>=(a-b)(a-b)^<2>=(a-b)\left(a^<2>-2 a b+b^<2>\right)=$

$=a^<3>-2 a^ <2>b+a b^<2>-b a^<2>+2 a b^<2>-b^<3>=a^<3>-3 a^ <2>b+3 a b^<2>-b^<3>$. Выражение $(a-b)^<2>$ было заменено эквивалентным выражением по формуле «квадрат разности».

Задание. Раскрыть скобки $(2 x y-1)^<3>$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в куб по определению, то есть умножим выражение $2 x y-1$ два раза на себя; второй — используя формулу сокращенного умножения «куб разности».

$(2 x y-1)^<3>=(2 x y-1)(2 x y-1)^<2>=(2 x y-1)\left(4 x^ <2>y^<2>-4 x y+1\right)=$

$=8 x^ <3>y^<3>-8 x^ <2>y^<2>+2 x y-4 x^ <2>y^<2>+4 x y-1=8 x^ <3>y^<3>-12 x^ <2>y^<2>+6 x y-1$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(2 x y-1)^<3>=(2 x y)^<3>-3 \cdot(2 x y)^ <2>\cdot 1+3 \cdot 2 x y \cdot 1^<2>-1^<3>=8 x^ <3>y^<3>-12 x^ <2>y^<2>+6 x y-1$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.

Источник

Куб разности: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения для разложения на множители куба разности. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Формула куба разности

Куб разности a и b равняется кубу a минус утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a минус куб b .

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Формула работает в обратную сторону:

a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = (a – b) 3

Доказательство формулы

Представим куб разности в виде произведения:
(a – b) 3 = (a – b)(a – b)(a – b) .

Теперь поочередно выполняем перемножение скобок с учетом арифметических правил:
(a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)(a – b) 2 = (a – b)(a 2 – 2ab + b 2 ) = a 3 – 2a 2 b + ab 2 – a 2 b + 2ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 .

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 .

Пример

Разложите выражение (4x – 6y) 3 на множители.

Решение:
Воспользуемся общей формулой, подставив в нее наши значения:
(4x – 6y) 3 = (4x) 3 – 3 ⋅ (4x) 2 ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y) 2 – (6y) 3 = 64x 3 – 288x 2 y + 432xy 2 + 216y 3

Проверка:
Давайте перемножим три одинаковые скобки:
(4x – 6y) 3 = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y) 2 = (4x – 6y)(16x 2 – 48xy + 36y 2 ) = 64x 3 – 192x 2 y + 144xy 2 – 96x 2 y + 288xy 2 + 216y 3 = 64x 3 – 288x 2 y + 432xy 2 + 216y 3

Источник

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт « a 3 ».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени « a » и увеличение степени « b ». В этом можно убедиться:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a 2 − ab + b 2 )
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

Источник

Формулы сокращенного умножения.

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

Первая х 2 — у 2 = (х — у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х — у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х — у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 — у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2 ) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3 — у 3 = (х — у) (х 2 + ху + у 2 ) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономе рностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны, и это значит:

Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.

Источник