Как возводить корень в куб

Вычисление кубического корня

Кубический корень числа А — это такое число В, которое при возведении в третью степень в результате дает число А. Вычисление кубического корня — более сложная задача, нежели поиск квадратных корней.

Обозначение

Корни чисел ранее обозначались символом Rx, от латинского слова radix, то есть корень. Именно поэтому синонимом арифметических корней стало слово «радикал». Позднее для удобства типографской записи корни стали обозначаться латинской буквой V, а надстрочный знак перед символом указывает на степень корня. Для упрощения обозначения кубических корней в этой статье мы будем использовать слово cube. Это означает, что cube(8) следует читать как «кубический корень из 8».

Алгоритм приблизительных вычислений

Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27).

Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) 3 , 27 = 3 3 , a 64 = 4 3 и так далее. Кубические корни любого числа из последовательности кубов являются целыми. Геометрически такие числа иллюстрируются объемом куба, ребро которого равно целочисленному корню числа. Например, число 64 — это объем куба с ребром длиной 4 см.

Кубическая последовательность растет довольно быстро, и в отличие от квадратов чисел, куб может оканчиваться на любую цифру. Так как количество натуральных чисел уходит в бесконечность, то и количество кубов также бесконечно, однако целочисленных значений все же гораздо меньше, чем иррациональных.

Наша программа представляет собой универсальный калькулятор вычисления корней любой степени. Для того, чтобы вычислить значение кубического корня вам потребуется указать заданное число в ячейку «Число(x)», а ячейке «Степень(n)» требуется ввести значение степени. По умолчанию калькулятор выставляет в «Степень(n)» число 3, поэтому вы сразу можете вычислять кубические корни, не устанавливая степень корня.

Пример работы калькулятора

Вычисление ребра куба

Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов:

• Cube(10) = 2,1544;
• Cube(25) = 2,9240;
• Cube(50) = 3,6840;
• Cube(75) = 4,2172;
• Cube(100) = 4,6416.

Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта.

Заключение

Поиск кубического корня — сложная задача, если вычислять значение требуется для больших или некубических чисел. Для определения значения кубического корня заданной точности используйте наш онлайн-калькулятор — простой инструмент для быстрых вычислений, который идеально подойдет школьникам и студентам.

Источник

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — a m n . Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени!

Положительное число a в степени m n — это корень степени n из числа a m .

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0 :

В соответствии с определением, степень a m n можно представить в виде корня a m n .

Например: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 — 3 4 = 1 2 3 — 3 4 .

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Так, выражение — 8 1 3 нельзя представить в виде — 8 1 3 , так как запись — 8 1 3 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень — 8 1 3 имеет смысл.

Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени.

Например, выражение x 2 + 2 x + 1 — 4 1 2 можно представить в виде квадратного корня x 2 + 2 x + 1 — 4 .Выражение в степени x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 переходит в выражение x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 для всех x , y , z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a . Например, 7 6 4 = 7 6 4 , или 2 7 — 5 3 = 2 7 — 5 3 .

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например — 4 2 6 , — 2 3 . Однако, представить эти корни в виде степеней — 4 2 6 и — 2 1 3 нельзя.

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения — 4 2 6 .

— 4 2 6 = — 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Так как 4 > 0 , можно записать:

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

Тогда выражение — 2 3 примет вид:

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением A m n в виде A m n . Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х — 3 2 3 , основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x — 3 2 3 . Такая замена возможна только при x — 3 ≥ 0 , а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула a m n = a m n не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.

Чтобы правильно перейти от корня A m n к степени A m n , необходимо соблюдать несколько пунктов:

• В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула A m n = A m n справедлива на всей ОДЗ переменных.
• Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение A m n можно заменить:
  — на A m n для всех значений переменных, при которых A ≥ 0 ;
  — на — — A m n для для всех значений переменных, при которых A 0 ;
• Если m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то A m n можно заменить на A m n .

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х — 3 2 3 . Здесь m = 2 — целое и четное число, а n = 3 — натуральное число. Значит, выражение х — 3 2 3 правильно будет записать в виде:

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x + 5 — 3 5 = x + 5 — 3 5 , x > — 5 — — x — 5 — 3 5 , x — 5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении A m n значение A положительно или неотрицательно (при m > 0 ). Именно поэтому A m n = A m n .

Во втором варианте, когда m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения A m n разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, A m n = A m n = A m n . Для переменных, при которых A отрицательно, получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = — A m n = — A m n = — A m n .

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение A положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ A m n = A m n = A m n . Для отрицательных A получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = A m n = A m n .

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать A m n = A m n .

Источник

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Источник

Свойства корней (ОГЭ, ЕГЭ 2022)

А сейчас мы рассмотрим свойства корней.

Квадратный корень, кубический корень и корень в N-ой степени.

Порешаем задачки, чтобы к концу этого занятия все, что касается корней (в любой степени) было тебе абсолютно понятно!

И, самое главное, чтобы ты смог решить любую задачу c корнями на экзамене!Поехали!

Свойства корней — коротко о главном

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)

Свойства корней:

Для любого натурального \( n\), целого \( k\) и любых неотрицательных чисел \( a\) и \( b\) выполнены равенства:

Арифметический квадратный корень

Когда ты разберешься в этой теме, тебе станет намного легче решать иррациональные уравнения и неравенства.

А пока что давай попробуем разобраться, что это за понятие «корень» и с чем его едят 🙂

Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение \( <^<2>>=4\). Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом \( 4\)?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: \( 2\) и \( -2\) ( ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ \( \sqrt<\ \ >\).

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)
\( \left( \sqrt=x,\ <^<2>>=a;\ \ x,a\ge 0 \right)\)

А почему же число \( a\) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен \( \sqrt<-9>\). Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: \( <<3>^<2>>=9\), а не \( -9\). Может, \( \left( -3 \right)\)? Опять же, проверяем: \( <<\left( -3 \right)>^<2>>=9\). Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа \( a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a\)».

Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример \( <^<2>>=4\), подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом \( 4\), ответ было \( 2\) и \( -2\), а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

Квадратное уравнение или квадратный корень?

К примеру, \( <^<2>>=4\) не равносильно выражению \( x=\sqrt<4>\).

Из \( <^<2>>=4\) следует, что \( \left| x \right|=\sqrt<4>\), то есть \( x=\pm \sqrt<4>=\pm 2\) или \( <_<1>>=2;\ <_<2>>=-2\).

А из \( x=\sqrt<4>\) следует, что \( x=2\).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( -2\).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение \( <^<2>>=3\).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: \( <<0>^<2>>=0\) – не подходит.

Двигаемся дальше \( \text=1;\ <<1>^<2>>=1\) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если \( x=2\); \( <<2>^<2>>=4\) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между \( 1\) и \( 2\), а также между \( -2\) и \( -1\).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше?

Давай построим график функции \( y=<^<2>>\) и отметим на нем решения. (Прочти по ссылке как использовать график функции для решения уравнений)

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из \( 3\), делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что \( \sqrt<3>=1,732050807568…\).

Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. \( \sqrt<3>\) и \( -\sqrt<3>\) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления.

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной \( \displaystyle 1\) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: \( <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>\). Таким образом, \( <^<2>>=1+1=2\).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что \( c=\sqrt<2>\). Корень из двух приблизительно равен \( 1,41\), но, как мы заметили раньше, \( \sqrt<2>\) -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от \( 1\) до \( 20\), а также уметь их распознать.

К примеру, необходимо знать, что \( 15\) в квадрате равно \( 225\), а также, наоборот, что \( 225\) – это \( 15\) в квадрате.

Вот тебе полная таблица квадратов чисел. Сверху строка — основание степени, слева в столбик показатель степени, на пересечение искомое значение степени. Запомнить нужно только то, что выделено зеленым.

Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.

Источник