Как решить через дискриминант уравнение с кубом

Решение кубических уравнений — методы и примеры вычислений

Всё, что окружает человека, в какой-то мере связано с математикой. Пожалуй, не одно значимое открытие в физике, химии не обходится без составления формул. Особое место при расчётах занимают кубические уравнения. Решение практических задач очень важно, поэтому необходимо уметь проводить вычисления. Существуют различные подходы, позволяющие довольно быстро найти ответ. Поэтому нужно не только знать принцип решения, но и правильно подобрать метод.

История и формулировки

Кубические уравнения составлялись ещё в Древней Греции и Египте. Археологами были найдены клинописные таблицы XVI века до нашей эры, содержащие описание возможного их решения. Вычислением кубов занимался Гиппократ, пытавшийся свести задачу к нахождению отрезков с помощью чертёжных инструментов. Архимед использовал для поиска ответа пересечение двух конусов.

Впервые методы решения такого рода уравнений были описаны в китайском учебнике «Математика в девяти книгах», составленном во втором столетии до нашей эры. В седьмом веке Омар Хайям на основании своих работ приходит к выводу, что решение уравнений третьей степени может иметь более одного ответа.

Математик Шараф ад-Дин публикует тракт об уравнениях, в котором описывает восемь различных типов кубических выражений, имеющих положительное решение. В своих вычислениях он использует численную аппроксимацию. Учёный не только разработал подход для решения с использованием производной функции и экстремумов, но и понял важность дискриминанта многочлена при нахождении кубов.

В 1530 году итальянский математик Никколо Тарталья разрабатывает методику решения, которой он после поделился с Джероламо Кардано. Согласно этому способу нужно было извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Параллельно с этими исследованиями, основоположник символической алгебры Франсуа Виет, предлагает свой способ решения кубического равенства с тремя корнями. Позднее его работу описал и обосновал Рене Декарт.

Уравнением третьей степени называют выражение вида: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. В математике оно называется кососимметрическим. Число y, значение которого необходимо найти, при подстановке превращает формулу в тождество. Называется оно корнем уравнения или просто решением. Кроме этого, y ещё является и корнем многочлена куба.

Таким образом, в кубических уравнениях стоит только одна переменная в третьей степени. Они всегда имеют три корня. При этом ответы могут быть равны друг другу и даже быть комплексными (но не более двух).

Формула квадратного уравнения

Используется при решении простейшего равенства методом разложения кубического уравнения на множители. Когда последний член равен нулю, решить такую задачу можно по методу квадратных уравнений. При n = 0, уравнение примет вид :

В полученном выражении каждый член представлен произведением на неизвестное, поэтому переменную y можно вынести за скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Уравнение в скобках является классическим квадратным, которое можно решать несколькими способами:

  • разложением на множители;
  • с использованием формулы корней квадратного уравнения;
  • методом дополнения.

При выборе первого варианта разложение выполняют следующим образом. Например, необходимо решить равенство вида: *y 2 — 11*y — 16 = 0. Квадратный член можно записать в виде двух множителей: 3*y и y. Поэтому их можно записать сразу как произведение в скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Так как определённый член можно записать в виде произведения 2*2 или 1*4, то формулу можно представить как (3 *y +1) * (y — 16).

Если раскрыть скобки, то получится равенство 3*y 2 — 12 *y + y + 16. Решением (-12*y + y) будет (-11*y). Как раз тот член, который нужен. Используя же произведение 2*2 — искомый член найти не получится.

Равенство раскладывают на два множителя: (3*y +1) (х — 16) = 0. Согласно аксиоме произведение двух членов равно нулю только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняв каждое выражение в скобках к нулю, можно записать два равенства: 3*y + 1 = 0 и y — 16 = 0. При решении каждого из них получится два ответа: y = 1/3 и y = 16.

Для проверки результата необходимо оба возможных решения подставить в формулу. Так как для квадратного уравнения существует только два решения, а для кубического три, то в этом случае третьим ответом будет ноль. Поэтому решением уравнения будет три корня: 0, 1/3, 16.

Но проще и нагляднее всего использовать второй вариант. Формула корней кубического уравнения имеет вид: y = ((-d + (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a и y = ((-d — (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a. Корни квадратного уравнения и будут ответом для кубического. Например, 5*y 2 — 7*y — 14 = 0. Приняв, что a = 5, d = -7, c = — 14 и подставив числовые значения, будет верным запись: y = 1 4 / 5 и y = -1. Дробное решение и отрицательное будет являться корнями кубического равенства.

Разложение на множители

Если определённый член не равен нулю, то посчитать игрек при помощи квадратных уравнений невозможно. В этом случае используется метод разложения на свободные множители. Например, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Чтобы разложить кубическое уравнение на множители и определить неизвестное, придерживаются следующего порядка:

  • Вычисляют множитель кубического коэффициента и свободного члена. Это те числа, которые при умножении друг на друга дают исходное число. Например, цифру шесть можно представить перемножением 6*1 и 2*3, то есть множителями шести являются: 1, 2, 3, 6. Коэффициентом кубического члена является двойка, соответственно её множители — цифры один и два.
  • Выполняют деление множителей кубического члена на цифры разложения свободного. В результате действия получится набор, состоящий из дробных частей и целых чисел, при этом они могут быть и отрицательными. Для уравнения 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0 такой набор будет состоять из 1, -1, ½, -½, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3 .
  • Определяют ряды чисел, в которых существуют рациональные решения кубического выражения. Для рассматриваемого примера они будут следующие: -1*2 = -2; 9 + (-2) = 7; (-1) * 7 = -7; 13 +(-7) = 6; (-1)*6 = -6; 6+(-6) = 0 .

    Вычисление рационального числа операция долгая и требующая внимания. Поэтому для быстрого нахождения ответа используется деление по схеме Горнера. По этой схеме выполняют деление целых цифр на коэффициенты всех членов равенства. Если в ответе получается только целая часть, то эти числа считаются вариантами решения. Таким методом можно находить и иррациональные выражения.

    Чтобы освоить способ Горнера, необходимо тщательно в нём разобраться. Способ заключается в делении коэффициентов многочлена без учёта степенных показателей. Вычитание заменяется сложением как при делении в столбик. То есть уравнение, впрочем, как и неравенство, вида y 3 + 2*y 2 — 4 *y + 8, записывается как 1 2 -4 8 с необходимым делимым. В результате должен получиться многочлен с остатком. Если он будет нулевым, то одним из ответов уравнения и будет делимое .

    Использование дискриминанта

    Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

    При решении кубических равенств используют значения коэффициентов. Например, для уравнения y 3 — 3* y 2 + 3* y — 1, они будут равны: a = 1, d = -3, c = 3, n = -1. Затем вычисляют дельта нулевое. Это ключевая величина, которая после подставляется в формулу. В примере, Δ0 = d 2 — 3 * a * c, определяют как (-3) 2 — 3 * (1) * (3) = 9 − 3 * 3 = 0 .

    Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d 3 — 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

    2 (-3) 3 — 9 (1)(-3)*(3) + 27 (1) 2 * (-1) = 2 (-27) — 9 (-9) + 27 (-1) = -54 + 81 — 27 = 81 − 81 = 0 = Δ 1.

    Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d 2 — 4 * a * c. Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два. Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

    Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

    • Δ1 2 — 4 * Δ0 3 / — 27 *a 2 ;
    • (0) 2 — 4 * (0) 3 / — 27 * (1) 2 ;
    • (0−0) / 27;
    • Δ = 0.

    Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

    C = ((Δ 1 2 — 4 Δ 0 3 ) +Δ) / 2) ½ = (((0 — 0) + 0)/2) ½ = 0.

    Корни куба определяются по формуле: u n C + Δ0/(u n C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

    Теорема Виета и двучлен

    Выражение вида: a*y 3 + d = 0 называется двухчленным или неполным уравнением. Для его решения нужно равенство привести к виду: y 3 + d/a = 0. Затем используя формулу сокращённого умножения для суммы кубов можно записать:

    (y + 3 √ d/a) * (y 2 − ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

    Из первого множителя и находят значение игрека. Оно будет равно 3 √ d/a, ведь второй множитель — это квадратный трёхчлен с корнями комплексного вида.

    Для проверки рациональных равенств удобно применять теорему Виета. Согласно ей корни уравнения связаны с коэффициентами выражениями:

    • y1 + y2 + y3 = — d/a;
    • y1 * y2 + y2 * y3 + y1 * y3 = c/a;
    • y1 * y2 * y3 = — n/a.

    Используя теорему, некоторые уравнения можно решить даже устно. Например, y 3 + 2y — 24 = 0. Решение выполняется в следующей последовательности:

    • записывают теорему применительно к равенству;
    • определяют знаки корней;
    • раскладывают определённый член.

    Частным случаем применения теоремы являются тригонометрические формулы для кубического равенства:

    S = Q 3 — R 2 , где Q = (a2 — 3d)/9, а R = (2 а 3 — 9ad + 27c) / 54.

    В зависимости от знака S применяется одна из следующих формул : φ = (arcos (R/Q 3/2 ))/3 и φ = (arcos (ЇRЇ/Q 3/2 ))/3. Первое выражение справедливо при S > 0 и имеет три корня: y 1 = -2 (Q) ½ * cos (φ) — a/3; y 2 = — (Q) ½ cos (φ + 2p /3) — a/3; y 3 = -2 (Q) ½ * cos (φ — 2p/3) — a/3. А второе при S ½ * ch (φ) — a/3. В случае же когда S=0,то уравнение имеет следующие корни: y 1= -2*R1 /3 — a/3; y 2= y 3 =R1/3 — a/3.

    Теорему Виета можно использовать и для наивысшей, четвёртой степени, при которой ещё существует аналитическое решение.

    Подробный онлайн-калькулятор

    Вычисление корней требует внимательности и усердия. Чтобы быстро находить решение, нужно не только знание теории, но и практические занятия. Конечно же, знать формулы и уметь решать уравнения нужно самому.

    Но при самостоятельном вычислении существует вероятность допущения ошибки. Поэтому на помощь приходят своего рода решебники-онлайн. Они умеют не только точно и быстро определять корни равенства, но и показывать подробное вычисление. Благодаря этому можно не просто получить правильный ответ, но и разобраться в решении, понять различные нюансы, проверить свои знания.

    Из наиболее популярных интернет-порталов, позволяющих найти корни кубического уравнения онлайн, можно выделить: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Воспользоваться такими сайтами-решателями сможет любой пользователь, даже не имеющий представление о методах решения уравнений.

    Для этого нужно просто заполнить предлагаемые на странице поля и нажать кнопку «Рассчитать» или «Решить». Калькулятор сам на основании запрограммированных формул, чаще всего по методу Вието — Кардано, выполнит расчёт и выведет на экран ответ. Кроме этого, будет предложено подробное решение с описанием. На этих сайтах также можно посмотреть и примеры решений, формулы, теоремы.

    Источник

    Кубические уравнения в школе

    ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

    ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

    Учитель Математики Высшей категории

    Как решать кубические уравнения

    3 метода: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения. Нахождение целых решений при помощи разложения на множители. Использование дискриминанта.

    Кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

    Метод 1 из 3: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

    1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где коэффициенты «b», «с» и «d» могут быть равны 0, то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть «d». Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения.

    Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

    2. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную «х», которую можно вынести за скобки: x ( ax 2 + bx + c ).

    Пример. 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Если вынести «х» за скобки, вы получите x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.

    3. Обратите внимание, что уравнение в скобках – это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c, которое можно решить при помощи формулы ( <-b +/-√ ( b 2 — 4 ac )>/2 a ). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

    В нашем примере подставьте значения коэффициентов «а», «b», «с» (3, -2, 14) в формулу:

    4. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические – три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите «х» за скобки, третье решение всегда равно 0.

    Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0, равно 0. Так как вы вынесли «х» за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя («х» и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0, чтобы все уравнение равнялось 0.

    Метод 2 из 3: Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

    1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

    Пример. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. Здесь перенесите свободный член d = -6 на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0: 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0.

    2. Найдите множители коэффициента «а» (коэффициент при x 3 ) и свободного члена «d». Множители числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6 (1*6 = 6 и 2*3 = 6).

    В нашем примере а = 2 и d = 6 . Множители 2 – это числа 1 и 2. Множители 6 – это числа 1, 2, 3 и 6.

    3. Разделите множители коэффициента «а» на множители свободного члена «d». Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

    В нашем примере разделите множители «а» (1, 2) на множители «d» (1, 2, 3, 6) и получите: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, 2/3. Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3. Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

    4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь делением по схеме Горнера . Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения «а», «b», «с», «d» данного кубического уравнения. Если остаток равен 0, целое число является одним из решений кубического уравнения.

    Деление по схеме Горнера – непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера:

    Так как остаток 0, то одним из решений уравнения является целое число -1.

    Метод 3 из 3: Использование дискриминанта

    1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов «а», «b», «с», «d». Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

    Пример. x 3 — 3 x 2 + 3 x — 1. Здесь a = 1, b = -3, c = 3, d = -1. Не забывайте, что когда перед «х» коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1.

    2. Вычислите Δ0 = b 2 — 3 ac . В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения.

    4. Вычислите Δ = Δ1 2 — 4Δ0 3 ) ÷ -27 a 2 . Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант – это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b 2 — 4 ac ). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

    В нашем примере Δ0 = 0 и Δ1 = 0, поэтому найти Δ не составит труда.

    0 = Δ, поэтому данное вам уравнение имеет одно или два решения.

    5. Вычислите C = 3 √(√((Δ1 2 — 4Δ0 3 ) + Δ1)/ 2). Эта величина позволит вам найти корни кубического уравнения.

    6. Корни (решения) кубического уравнения вычисляются по формуле ( b + u n C + (Δ0/ u n C )) / 3 a , где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно либо 1, либо 2, либо 3.

    Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x 3 — 3 x 2 + 3 x — 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.

    Источник

  • Оцените статью
    Юридический портал
    Adblock
    detector