Как решать примеры в кубе 5 класс

16. Степень числа. Квадрат и куб числа

Мы знаем, что сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче — в виде произведения. Например, вместо З + З + З + З + З пишут 3 • 5. В этом произведении число 5 показывает, сколько слагаемых было в сумме.

Произведение, в котором все множители равны друг другу, тоже записывают короче: вместо 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 пишут 2 6 . Запись 2 6 читают «два в шестой степени». В этой записи число 2 называют основанием степени, 2 число 6, которое показывает, сколько множителей было в произведении, — 2 показателем степени, а выражение 2 6 называют степенью.

Пример 1. Запишем произведения в виде степени и найдём их значения:

3 • 3 • 3 • 3 = З 4 = 81;
5 • 5 • 5 = 5 3 = 125;
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 6 = 64.

Вторую степень числа часто называют иначе. Произведение 3 • 3 называют квадратом числа 3 и обозначают З 2 .

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n 2 (читают: «эн в квадрате»). Итак, n 2 = n • n. Например, 17 2 = 17 • 17 = 289.

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:

Третья степень числа также имеет и иное название. Произведение 4 • 4 • 4 называют кубом числа 4 и обозначают 4 3 .

Произведение n • n • n называют кубом числа n и обозначают n 3 (читают: «эн в кубе»).

Например, 8 3 = 8 • 8 • 8 = 64 • 8 = 512.

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

Первую степень числа считают равной самому числу:

Показатель степени 1 обычно не пишут.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вы числяют до выполнения остальных действий.

Пример 2. Найдём значение выражения (4 + З)2 • 52 — 83 + 26. Решение.

(4 + З) 2 • 5 2 — 8 3 + 26 = 7 2 • 25 — 512 + 64 =
= 49 • 25 — 512 + 64 = 1225 — 512 + 64 = 777.

Вопросы для самопроверки

• Что такое квадрат числа?
• Что такое куб числа?
• Назовите основание и показатель степени: 6 7 , 12 3 , 4 10 , 15 2 , 8 1 .

Выполните упражнения

652. Составьте таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

653. Представьте в виде степени произведение:

• а) 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6;
• б) 25 • 25 • 25 • 25 • 25;
• в) 73 • 73;
• г) 11 • 11 • 11 • 11;
• д) 9 • 9 • 9;
• е) m • m • m • m • m • m;
• ж) х • х • х;
• з) у • у • у • у • у • у • у • у;
• и) k • k;
• к) n • n • n • n • n;
• л) (х + 1)(х + 1)(х + 1);
• м) (7 — n)(7 — n).

654. Представьте в виде произведения степень:

• а) 7 5 ;
• б) 12 4 ;
• в) 15 3 ;
• г) 1000 2 ;
• д) 60 7 ;
• е) n 9 ;
• ж) k 3 ;
• з) а 8 ;
• и) х 2 ;
• к) (т + 2) 4 ;
• л) (а — 7) 2 ;
• м) (х + у) 3 .

655. Найдите значения: 25 2 ; 100 2 ; 10 3 ; 11 3 ; 12 3 ; 15 3 .

656. Найдите значения степеней: 2 5 ; 10 6 ; 1 20 ; З 4 ; 41 1 ; 4 4 .

657. Найдите значение выражения:

• а) З 2 • 18;
• б) 5 + 4 2 ;
• в) (5 + 4) 2 ;
• г) 5 2 + 4 2 ;
• д) 7 + 4 3 ;
• е) 7 3 + 4;
• ж) (7 + 4) 3 ;
• з) (7 3 — 4 3 ) : (7 — 4);
• и) 5 2 • 2 3 ;
• к) 2 5 + З 4 ;
• л) (30 : З) 5 — 100 3 ;
• м) (10 2 — 2 6 ) : 6 + 1 10 .

658. Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение п, если:

121 = n 2 ; n 2 = 196; n 2 = 10 000; 125 = n 3 , n 3 = 512.

660. Угадайте корни уравнения:

• а) х • х = 25;
• б) у • у = 81;
• в) а • а = 1;
• г) b • b • b = 0.

661. Какие цифры заменены звёздочками?

Подумайте, какие уравнения пришлось решать для нахождения неизвестных цифр.

662. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения:

• а) 160 + 37 — 20;
• 6) 90 — 60 : 15;
• в) 80 — 15 + 25?

Если возможно, укажите другой порядок действий, приводящий к тому же результату.

663. Составьте выражение по следующей программе:

1. Разделить 58 344 на 429.
2. 215 умножить на 48.
3. Сложить результаты команд 1 и 2.

Найдите значение получившегося выражения.

664. Составьте схему вычисления выражения:

(39 • 71 + 25 • 95) — (248 : 4 — 176 : 11).

665. Решите задачу:

1. Сумма двух чисел 549. Одно из них в 8 раз больше другого. Найдите эти числа.
2. Сумма двух чисел 378. Одно из них в 8 раз меньше другого. Найдите эти числа.
3. Разность двух чисел 342. Одно из них в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа.
4. Разность двух чисел 516. Одно из них в 7 раз больше другого. Найдите эти числа.

666. Найдите значения: 18 2 ; 5 3 ; 13 2 ; 20 3 ; 40 2 ; 30 3 .

667. Найдите значения: 2 4 ; З 3 ; 10 5 ; 1 12 ; 100 4 ; 20 6 .

668. Найдите значение выражения:

• а) 9 2 + 19;
• б) 17 2 — 209;
• в) 6 3 : 3;
• г) 2 3 • З 2 ;
• д) (15 — 7) 2 : 2 3 ;
• е) (17 — 16) 8 + 2 5 ;
• ж) 10 6 — 20 4 ;
• з) З 4 • 10 4 ;
• и) 5 4 : 5 2 .

669. Из Москвы и Ростова-на-Дону одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Поезд из Москвы шёл со скоростью 65 км/ч, а поезд из Ростова-на-Дону — со скоростью на 7 км/ч меньшей. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 6 ч после начала движения, если расстояние между Москвой и Ростовом-на-Дону 1230 км?

670. С двух станций, расстояние между которыми 720 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4 ч?

671. Составьте программу вычислений для нахождения значения выражения

67 392 : (3504 — 3408) + 19 232 : 601

и изобразите её схемой. Найдите значение выражения.

14 • (3600 • 18 — 239 200 : 46).

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Выдающийся российский математик академик Андрей Николаевич Колмогоров решил много сложнейших задач, совершил не одно открытие в различных разделах современной математики. Радость своих первых математических «открытий» он познал рано. Андрей Николаевич рассказывал, что ещё до поступления в гимназию в возрасте пяти-шести лет он любил придумывать задачи, подмечал интересные свойства чисел. Эти «открытия» публиковались в домашнем журнале. Вот одно из «открытий» шестилетнего Колмогорова. Он заметил, что

1 2 = 1, 2 2 = 1 + 3, З 2 = 1 +3 + 5, 4 2 = 1 + 3 + 5 + 7.

673. Попробуйте рассказать, что это за свойство. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Первые единицы длины как в России, так и в других странах были связаны с размерами частей тела человека. Таковы сажень, локоть, пядь, в Англии и США до сих пор используется «ступня» — фут (31 см), «большой палец» — дюйм (25 мм) и даже ярд (91 см) — единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она была равна расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки.

Для измерения больших расстояний на Руси использовали единицу по́прище, заменённую позже версто́й (в разных местностях версту считали по-разному — от 500 до 750 сажен).

От восточных купцов пошла единица аршин (тоже означает «локоть») — существовали турецкий аршин, персидский аршин и др. Поэтому и возникла поговорка «мерить на свой аршин».

Множество единиц существовало и для измерения массы, наиболее древняя русская мера — гривна, или гривенка (около 410 г). Позднее появились золотники, фунты, пуды.

В связи с развитием торговли назрела необходимость установить чёткие определения единиц и соотношения между ними. При Петре I меры были приведены в определённую систему:

1 верста = 500 саженям (1 км 67 м);
1 сажень = 3 аршинам (213 см);
1 аршин = 16 вершкам = 28 дюймам (71 см);
1 фут = 12 дюймам (30 см 5 мм);
1 пуд = 40 фунтам (гривенкам) (16 кг 400 г);
1 фунт = 96 золотникам (410 г).

Источник

Урок математики в 5-м классе по теме «Степень числа. Квадрат и куб числа»

Цели и задачи урока:

1. Ввести понятие степени числа, основания степени и показателя степени, закрепить понятие возведения в степень на решении заданий.
2. Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитание культуры речи, усидчивости.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• презентация “Возведение в степень квадрат и куб числа”.

2. Актуализация знаний: (слайд)

Упростить выражение:

• 25х + 15 х;
• 12у – 3у;
• 9k + 9k – 4k;
• 80c-35c-14c;
• 8d+d-9d;
• 163 + 37v + 18v

Решить уравнение:

• 7х+2х = 918;
• 5а-3а = 222;
• 18у – 13у – 5 = 35

Проверьте порядок действий:

1 3 2 4
508 * 609 — (22313 + 345) : 69

4 6 5 2 3 1
34 * 45 + 56 — 78 * 356 : 56 * 4

3. Объяснение нового материала: (слайд)

Вы знаете, что сумму равных слагаемых заменяют произведением,

5+5+5+5+5+5+5+5+5+5= 5*10 это короче и удобней.

А есть ли способ, чтобы заменить произведение равных сомножителей?

Как, например, произведение 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5 записать короче?

Такой способ есть 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5=5 10

5 10 — читают: “пять в десятой степени”

10 – показатель степени, который показывает, сколько множителей было в произведении

В математике произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

А)Записать в тетрадь произведения в виде степени и вычислить:

Назовите основание и показатель степени:

Если показатель степени равен 1, то что это значит?

Первая степень любого числа равна этому числу.

5. Объяснение нового материала: (слайд)

Квадрат и куб числа а 2 и а 3

Вторая и третья степени числа имеют особые названия.
Вторую степень называют – Квадратом этого числа.
Квадрат числа 2 равен 4,
Квадрат числа 3 равен 9.
Запись 2 2 читают: “Два в квадрате”.

А почему такое название – квадрат?
Ведь у нас никаких геометрических фигур здесь не появилось.
Фигура сейчас появится. И именно квадрат. Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. его площадь равна 2*2=2 2 (кв.см)
Рассмотрим шахматную доску. У нее 8 строк (горизонталей) и 8 столбцов (вертикалей).
Клетки этой таблицы-доски называют полями.

Сколько у нее полей? Ответ: 8*8=8 2 =64

Третью степень называют – Кубом этого числа.
Запись 2 3 читают: “Два в кубе”.

Рассмотрим куб, ребро которого имеет длину 2 см, видно, что он сложен из восьми кубиков с ребром 1 см.

Но 8 как раз и равно 2*2*2=2 3

№ 653 (выполняет у доски ученик)

А) запишите выражение с помощью символов степени и вычислите его значение:

• 10*10*10
• 6*6*6
• 4*4+8*8
• 2*2*2+3*3

Б) вычислите: 11 2 ; 9 3 ; 34 1 ; 13 2 ; 4 3 .

В) Вопросы:

Что называется возведением в степень?
Произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

• На примере поясните, какое число называется степенью, основанием степени, показателем степени?
• Дано число. Чему равна его первая степень?
  Первая степень числа равна самому числу.
• Что такое квадрат данного числа ?Куб данного числа?
• Дан куб со стороной а см (а – натуральное число). Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
  Из а кубиков.
• Верно ли равенство? 15*3=15 3
  Равенство неверное, т.к. 15 3 =15*15*15

8.Итог урока:

1. Что нового вы узнали на уроке?
2. Какие трудности были у вас на уроке?
3. Что понравилось на уроке?

Источник

квадрат и куб числа 5 класс

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Степень числа Квадрат и куб числа Выполнил Ученик 5 класса МБОУ СОШ№1 с.Александров Гай Саратовской области Жуманьязов Альбек Учитель Касимова Л.В

Цель: изучить тему степень числа Задачи: Познакомится с понятиями квадрата и куба числа; Научить применять полученные знания при выполнении заданий. Актулизация: Где применяются знания по данной теме ?

Историческая справка Давным-давно в Древней Греции, для того чтобы умножать числа, люди использовали счёт на камушках. Они рисовали многоугольники, выкладывали их стороны из камней и подсчитывали их число. В результате этого появились числа называемые квадратными и кубическими. С помощью такого метода можно вычислить площади и объём любой фигуры, а так же решать практические задачи на нахождение объёма воды в любом бассейне. В наше время не используют метод древних греков, так как он трудоёмкий и занимает много времени, для этого используют понятие и способы действий, которые вам необходимо сегодня внимательно изучить, осмыслить и закрепить на уроке.

Степень числа 5 10 Читают: «пять в десятой степени» 5 – основание степени 10 – показатель степени, который показывает, сколько множителей было в произведении В математике произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5 ¹º

Помни всегда n раз умножаем а .

Вторая степень числа называется квадратом числа. Три в квадрате 3 3 * 3 2 Третья степень числа называется кубом числа. 5 5 5 * * 5 3 Пять в кубе

Научимся читать степень Девять во второй степени или девять в квадрате 7 2 6 3 9 2 11 3 4 5 Семь во второй степени или семь в квадрате Шесть в третьей степени или шесть в кубе — Пять в четвертой степени Одиннадцать в третьей степени или одиннадцать в кубе — — — —

Таблица квадратов n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Таблица кубов n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n³ 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

Попрактикуемся на примерах: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 = 3 * 3 * 3 * 3 = 3 = 4 * 4 * 4 = 4 = 10 * 10 * 10 = 10 = 7 * 7 = 7 = 11 * 11 = 11 = ? ? ? ? ? ?

Порядок выполнений действий Если в числовое выражение входят квадраты и кубы чисел, то их значение вычисляют до выполнения остальных действий. 2 ² ∙ 3 ³ = 4 ∙ 27 = 108

тест Заполни пропуски . Выражение вида __ 8 ³ ____ называется степенью, где ____________- это основание степени, а _____________- это показатель степени. Основание степени – это _____________________________, а показатель равен __________________________________. Примеры: 1. В выражении 64 число __________ основание степени, число ___________________ — показатель степени. 2. У степени _____________ основание равно 2 , а показатель равен 5.

Вопросы Что называется возведением в степень? На примере поясните, какое число называется степенью, основанием степени, показателем степени? Что такое квадрат данного числа ? Что такое куб данного числа ?

Вопрос: Можно ли эти математические знания применять в жизни человека ?

В архитектуре (строительство домов -применяется квадрат числа, куб числа)

Газовой компании (стоимость оплаты газа по счетчику –куб числа)

Астрономии (измерение расстояний -степень числа )

Вывод Изучив данную тему, я пришел к выводу, что она важна не только на уроке математике, но и в практической жизни человека.

Источник