Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом.
Если взглянуть на модель куба, то можно заметить, что у куба четыре боковые грани, а также еще по одной снизу и сверху. Следовательно, всего у куба имеется шесть граней.
Ответ: у куба шесть граней.
Что такое куб в математике
Под термином куб в математике принято подразумевать правильный многогранник, основной отличительной особенностью является то, что каждая грань представляет из себя форму квадрата. Следует отметить тот факт, что данное понятие пришло к нам из древнегреческого языка. В математике и геометрии куб используется для того, чтобы возвести какое — либо определенное число в третью степень. Рассмотрим на примере: для того, чтобы возвести число пять в третью степень необходимо: 5*5*5=125
Примеры возведения чисел в куб
Как видно из примеров, куб числа а — это и есть произведение трех множителей, каждый из которых равен а. Если в каком — то числовом выражении содержится куб, то всегда сначала необходимо вычислить его значение, и только далее можно приступать к выполнению других действий. А для того, чтобы проще и быстрее можно было возвести число в третью степень, для облегчения можно составить специальную табличку.
Такая геометрическая фигура как куб, состоит из шести граней, двенадцати ребер, восьми вершин.
Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Гекса» означает шесть, «хедра» — означает грань (Гексаэдр – шестигранник).
Поэтому на вопрос — «что такое гексаэдр?», можно дать следующее определение: » Гексаэдр это геометрическое тело из шести граней, каждая их которых — правильный четырёхугольник (квадрат) «.
Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Гранью многогранника является квадрат. Каждый из четырех углов равен 90 градусов.
Характеристики гексаэдра (куба)
Число рёбер, примыкающих к каждой вершине — 3
У каждого ребра (красный) имеются 4 скрещивающихся с ним ребра.
Определить количество пар скрещивающихся рёбер можно умножив общее количество рёбер на 4 и разделив на 2.
Всего куб имеет 24 пары скрещивающихся рёбер.
Количество пар параллельных граней — 3
Расстояние между противоположными рёбрами можно определить по формуле
Длину диагонали куба можно определить по формуле
Куб имеет 9 осей симметрии.
Три оси симметрии это прямые проходящие через центр параллельных граней куба:
Шесть осей симметрии это прямые соединяющие центры противолежащих рёбер куба:
Куб имеет 9 плоскостей симметрии
Три плоскости проходят через центр параллельно граням
Шесть плоскостей проходят через центр по диагонали
Куб может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы куба
Сфера может быть вписана внутрь куба.
Радиус вписанной сферы куба
Сферу можно вписать в куб таким образом, что она коснется поверхностью всех рёбер куба. Такая сфера именуется — полувписанная в куб.
Радиус полувписанной сферы можно определить по формуле:
Площадь поверхности куба
Для наглядности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.
Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон куба (это площадь правильного четырехугольника — квадрата) умноженной на 6. Либо воспользоваться формулой:
Объем куба определяется по следующей формуле:
Вариант развертки
Куб можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.
Древнегреческий философ Платон ассоциировал гексаэдр с землёй – одним из базовых «земных» элементов, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали коричневый цвет.
На рис.2 представлена развертка гексаэдра:
Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4: — если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка (pdf) — если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — разверткa (pdf)
Куб из набора «Волшебные грани»
Вы можете изготовить модель додекаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Диагональ куба — одна из осей симметрии.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
Гранью многогранника является квадрат. Каждый из четырех углов равен 90 градусов.
Сферу можно вписать в куб таким образом, что она коснется поверхностью всех рёбер куба. Такая сфера именуется — полувписанная в куб.
