Как определить длину ребра куба если известен объем куба

Как найти ребро куба

В основном встречаются четыре типа задач, в которых необходимо найти ребро куба. Это определение длины ребра куба по площади грани куба, по объему куба, по диагонали грани куба и по диагонали куба. Рассмотрим все четыре варианта таких задач. (Остальные задания, как правило, являются вариациями вышеперечисленных или задачами по тригонометрии, имеющими весьма косвенное отношение к рассматриваемому вопросу)

Если известна площадь грани куба, то найти ребро куба очень просто. Так как грань куба представляет собой квадрат со стороной, равной ребру куба, то ее площадь равняется квадрату ребра куба. Следовательно длина ребра куба равняется корню квадратному из площади его грани, то есть:

Нахождение грани куба по его объему еще проще. Учитывая, что объем куба равен кубу (третьей степени) длины ребра куба, получаем что длина ребра куба равняется корню кубическому (третьей степени) из его объема, т.е.:

Немногим сложнее нахождение длины ребра куба по известным длинам диагоналей. Обозначим через:

b — длину диагонали грани куба;

Как видно из рисунка, диагональ грани и ребра куба образуют прямоугольный равносторонний треугольник. Следовательно, по теореме Пифагора:

(^ — значок возведения в степень).

(чтобы найти ребро куба нужно извлечь квадратный корень из половины квадрата диагонали грани).

Чтобы найти ребро куба по его диагонали, снова воспользуемся рисунком. Диагональ куба (с), диагональ грани (b) и ребро куба (а) образуют прямоугольный треугольник. Значит, согласно теореме Пифагора:

Воспользуемся вышеустановленной зависимостью между a и b и подставим в формулу

Источник

Площадь поверхности куба формула и калькулятор онлайн

Найти ребро куба, зная объем

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь поверхности куба, если длина его ребра составляет 12 см.

Решение:
Используем первую формулу выше и получаем:
S = 6 ⋅ (12 см) 2 = 864 см 2 .

Задание 2
Площадь поверхности куба равняется 294 см 2 . Вычислите длину его ребра.

Решение:
Примем ребро куба за a. Из формулы расчета площади следует:

Задание 3
Вычислите площадь поверхности куба, если диагональ его грани равняется 5 см.

Решение:
Воспользуемся формулой, в которой задействована длина диагонали:
S = 6 ⋅ (5 см : √ 2 ) 2 = 75 см 2 .

Свойства куба

Какая фигура называется кубом?

Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.

Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.

Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

вычисление площади куба по его ребру

Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».

Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S1.

Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой. Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a2. Ее номер 2.

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

как вычислить площадь, если известен объем тела

Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.

Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:

• Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.
• Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:

Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.

Чему равна площадь поверхности куба.

Площадь поверхности куба измеряется в квадратных единицах, к примеру, в мм 2 , см 2 , м 2 и так далее. Для дальнейших расчетов Вам необходимо будет измерить ребро куба. Как мы знаем, ребра у куба равны, поэтому Вам будет достаточно измерить только одно (любое) ребро куба. Выполнить такой замер Вы можете при помощи линейки (или рулетки). Обратите внимание на единицы измерения на линейке или рулетке и запишите значение, обозначив его через а.

Полученное значение возведите в квадрат. Таким образом, Вы возведите в квадрат длину ребра куба. Для того чтобы возвести число в квадрат умножьте его на себя. Наша формула будет иметь следующий вид: SA = 6*а 2

Вы вычислили значение площади одной из граней куба.

Полученное значение умножайте на шесть. Не забывайте, что у куба 6 равных граней. Определив площадь одной из граней, умножьте полученное значение на 6, чтобы все грани куба участвовали в расчете.

Вот мы и пришли к конечному действию по вычислению площади поверхности куба.

SA = 6 х а 2 = 6 х 4 = 24 см 2

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6

S = S 1 ​ + S 2 ​ + S 3 ​ + S 4 ​ + S 5 ​ + S 6 ​

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

S 1 = S 2 = S 3 = S 4 = S 5 = S 6 = S ′ S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S’

S 1 ​ = S 2 ​ = S 3 ​ = S 4 ​ = S 5 ​ = S 6 ​ = S ′

S ′ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

Найти площадь поверхности куба, если длина его ребра равна 12 (см.).

S = 6 ⋅ a 2 = 6 ⋅ 1 2 2 = 6 ⋅ 144 = 864 S=6cdot a^2=6cdot 12^2=6cdot 144=864

S = 6 ⋅ a 2 = 6 ⋅ 1 2 2 = 6 ⋅ 1 4 4 = 8 6 4 (см. кв.)

Ответ: 864 см. кв.

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

Подставим в формулу для площади:

S = 6 ⋅ a 2 = 6 ⋅ ( 3 ​ d ​ ) 2 = 2 ⋅ d 2

Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.

S = 2 ⋅ d 2 = 2 ⋅ 8 2 = 2 ⋅ 64 = 128 S=2cdot d^2=2cdot 8^2=2cdot 64=128

S = 2 ⋅ d 2 = 2 ⋅ 8 2 = 2 ⋅ 6 4 = 1 2 8 (см. кв.)

Ответ: 128 см. кв.

Определение площади поверхности куба.

Определение площади поверхности куба выполняется по формуле SA = 6а 2 . Куб (правильный гексаэдр) – это один из 5 видов правильных многогранников, который является правильным прямоугольным параллелепипедом, куб имеет 6 граней, каждая из этих граней является квадратом.

Для вычисления площади поверхности куба Вам необходимо записать формулу SA = 6а 2 . Теперь давайте разберем почему данная формула имеет такой вид. Как мы говорили ранее, куб имеет шесть равных квадратных граней. Исходя из того что стороны квадрата равны, площадь квадрата составлять – a 2 , где а – сторона куба. Так куба имеет 6 равных квадратных граней, то для определения площади его поверхности, Вам необходимо умножить площадь одной грани (квадрата) на шесть. В итоге получаем формулу для вычисления площади поверхности (SA) куба: SA = 6а 2 , где а – ребро куба (сторона квадрата).

Геометрические тела.

Геометрическое тело — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы. Геометрические тела.

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

расчет площади по диагонали куба

Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:

1. Это формула №5.
2. Из нее легко вывести выражение для ребра куба:

Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:

Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.

Как связан куб с другими фигурами и телами?

Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше.

Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником.

Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.

Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.

В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.

Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.

Через длину диагонали грани

Сторона любой грани куба (ребро) может быть рассчитана через длину ее диагонали по формуле: a=d/√ 2 .

Это значит, что вычислить площадь поверхности фигуры можно так:

Источник

Ребро куба

Свойства

Зная ребро куба, геометрический калькулятор может рассчитать все остальные его параметры, такие как объем, площадь, диагонали и радиус сфер, которые могут быть вписаны в куб или описаны вокруг него.

Площадь стороны куба, то есть его грани, является площадью квадрата со стороной а, являющейся одновременно ребром куба. Поэтому чтобы вычислить площадь стороны куба, нужно применить стандартную формулу площади квадрата. S=a^2

Площадь боковой поверхности куба состоит из 4 боковых граней, а площадь полной поверхности – из 6 граней, поэтому их формулы представляют собой произведения площади одной грани куба на их необходимое количество. S_(б.п.)=4a^2 S_(п.п.)=6a^2

Чтобы вычислить объем куба, зная его ребро, необходимо возвести его в третью степень, так как все три измерения куба – длина, ширина и высота, — равны между собой. V=a^3

В некоторых случаях появляется необходимость рассчитать периметр куба, то есть сумму длин всех его ребер. В таком случае, периметр куба равен ребру куба, умноженному на 12. P=12a

Диагональ грани куба d – это диагональ квадрата, для которой была выведена стандартная формула по теореме Пифагора. d=a√2

Диагональ куба D в свою очередь соединяет противоположные вершины верхнего и нижнего оснований, образуя с боковым ребром и диагональю основания прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора в таком треугольнике приводит к единой формуле и для диагонали куба. (рис.2.1) a^2+d^2=D^2 D^2=a^2+2a^2 D^2=3a^2 D=a√3

По аналогии с вписанной и описанной окружностью около квадрата, вписанная и описанная сферы около куба имеют схожие определения радиусов. Радиус вписанной сферы представляет собой половину ребра куба, а радиус описанной окружности – половину диагонали куба. (рис. 2.2, рис.2.3) r=a/2 R=D/2=(a√3)/2

Источник

Нахождение объема куба: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема куба

1. Через длину ребра

Объем (V) куба равняется произведению его длины на ширину на высоту. Т.к. данные величины у куба равны, следовательно, его объем равен кубу любого ребра.

V = a ⋅ a ⋅ a = a 3

2. Через длину диагонали грани

Как мы знаем, грани куба равны между собой и являются квадратом, сторона которого может быть найдена через длину диагонали по формуле: a=d/√ 2 .

Следовательно, вычислить объем куба можно так:

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем куба, если его ребро равняется 5 см.

Решение:
Подставляем в формулу заданное значение и получаем:
V = 5 см ⋅ 5 см ⋅ 5 см = 125 см 3 .

Задание 2
Известно, что объем куба равен 512 см 3 . Найдите длину его ребра.

Решение:
Пусть ребро куба – это a. Выведем его длину из формулы расчета объема:

Задание 3
Длина диагонали грани куба составляет 12 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим формулу, в которой используется диагональ грани:

Источник