Как найти ребро куба по диагонали основания

Диагональ куба

Куб является базовым геометрическим телом, когда речь заходит об объеме и объемных телах. Недаром третья степень, которая получается умножением трех одинаковых чисел друг на друга (как при нахождении объема куба — трех его измерений одинаковых измерений) названа в его честь.

Основным и единственным параметром куба является его ребро a,так как все ребра у куба конгруэнтны, и представляют собой одновременно и длину, и ширину, и высоту. Соответственно, всего одно значение определяет все возможные характеристики куба, связанные с его измерениями.

Помимо ребер, вершины куба можно соединить диагоналями. Диагонали могут проходить через грани куба, тогда они будут просто диагональю основания или диагональю квадрата в плоскости, либо диагонали могут быть проведены внутри самого куба, соединяя противоположные основания в крайних точках (вершинах).

Чтобы найти диагональ куба через его ребро, необходимо сначала провести дополнительное построение в виде диагонали одного из соединяемых оснований, тогда диагональ куба станет гипотенузой новоиспеченного прямоугольного треугольника, катетами которого являются ребро куба и диагональ основания. Если ребро куба задано условиями задачи, то диагональ квадрата в основании придется сначала вычислить по формуле: d=a√2

Тогда диагональ куба можно будет выразить через теорему Пифагора, и она примет следующий вид:

Источник

Ребро куба

Свойства

Зная ребро куба, геометрический калькулятор может рассчитать все остальные его параметры, такие как объем, площадь, диагонали и радиус сфер, которые могут быть вписаны в куб или описаны вокруг него.

Площадь стороны куба, то есть его грани, является площадью квадрата со стороной а, являющейся одновременно ребром куба. Поэтому чтобы вычислить площадь стороны куба, нужно применить стандартную формулу площади квадрата. S=a^2

Площадь боковой поверхности куба состоит из 4 боковых граней, а площадь полной поверхности – из 6 граней, поэтому их формулы представляют собой произведения площади одной грани куба на их необходимое количество. S_(б.п.)=4a^2 S_(п.п.)=6a^2

Чтобы вычислить объем куба, зная его ребро, необходимо возвести его в третью степень, так как все три измерения куба – длина, ширина и высота, — равны между собой. V=a^3

В некоторых случаях появляется необходимость рассчитать периметр куба, то есть сумму длин всех его ребер. В таком случае, периметр куба равен ребру куба, умноженному на 12. P=12a

Диагональ грани куба d – это диагональ квадрата, для которой была выведена стандартная формула по теореме Пифагора. d=a√2

Диагональ куба D в свою очередь соединяет противоположные вершины верхнего и нижнего оснований, образуя с боковым ребром и диагональю основания прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора в таком треугольнике приводит к единой формуле и для диагонали куба. (рис.2.1) a^2+d^2=D^2 D^2=a^2+2a^2 D^2=3a^2 D=a√3

По аналогии с вписанной и описанной окружностью около квадрата, вписанная и описанная сферы около куба имеют схожие определения радиусов. Радиус вписанной сферы представляет собой половину ребра куба, а радиус описанной окружности – половину диагонали куба. (рис. 2.2, рис.2.3) r=a/2 R=D/2=(a√3)/2

Источник

Что такое диагональ куба, и как ее найти

Что такое куб, и какие диагонали он имеет

Куб (правильный многогранник или гексаэдр) представляет собой объемную фигуру, каждая грань – это квадрат, у которого, как нам известно, все стороны равны. Диагональю куба является отрезок, который проходит через центр фигуры и соединяет симметричные вершины. В правильном гексаэдре имеется 4 диагонали, и все они будут равны. Очень важно не путать диагональ самой фигуры с диагональю ее грани или квадрата, который лежит на его основании. Диагональ грани куба проходит через центр грани и соединяет противоположные вершины квадрата.

Формула, по которой можно найти диагональ куба

Диагональ правильного многогранника можно найти по очень простой формуле, которую необходимо запомнить. D=a√3, где D обозначаем диагональ куба, а – это ребро. Приведем пример задачи, где необходимо найти диагональ, если известно, что длина его ребра равна 2 см. Здесь все просто D = 2√3, даже считать ничего не надо. Во втором примере, пусть ребро куба будет равно √3 см, то тогда получаем D = √3√3=√9=3. Ответ: D равен 3 см.

Формула, по которой можно найти диагональ грани куба

Если известна диагональ грани куба

По условию задачи, нам дана только диагональ грани правильного многогранника, которая равна, предположим, √2 см, а нам необходимо найти диагональ куба. Формула решения этой задачи немного сложнее предыдущей. Если нам известно d, то мы можем найти ребро куба, исходя из нашей второй формулы d=a√2. Получаем а= d/√2= √2/√2=1см (это наше ребро). А если известна эта величина, то найти диагональ куба не составит труда: D = 1√3= √3. Вот так мы решили нашу задачку.

Если известна площадь поверхности

Следующий алгоритм решения строится на нахождении диагонали по площади поверхности куба. Предположим, что она равна 72 см 2 . Для начала найдем площадь одной грани, а всего их 6. Значит, 72 необходимо поделить на 6, получаем 12 см 2 . Это площадь одной грани. Чтобы найти ребро правильного многогранника, необходимо вспомнить формулу S=a 2 , значит a=√S. Подставляем и получаем a=√12 (ребро куба). А если мы знаем это значение, то и диагональ найти не сложно D= a√3= √12 √3 = √36 = 6. Ответ: диагональ куба равна 6 см 2 .

Если известна длина ребер куба

Бывают такие случаи, когда в задаче дана только длина всех ребер куба. Тогда необходимо это значение разделить на 12. Именно столько сторон в правильном многограннике. Например, если сумма всех ребер равна 40, то одна сторона будет равна 40/12=3,333. Вставляем в нашу первую формулу и получаем ответ!

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник

Как найти ребро куба по диагонали основания

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник