Как найти объем куба если дана диагональ грани куба

Нахождение объема куба: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема куба

1. Через длину ребра

Объем (V) куба равняется произведению его длины на ширину на высоту. Т.к. данные величины у куба равны, следовательно, его объем равен кубу любого ребра.

V = a ⋅ a ⋅ a = a 3

2. Через длину диагонали грани

Как мы знаем, грани куба равны между собой и являются квадратом, сторона которого может быть найдена через длину диагонали по формуле: a=d/√ 2 .

Следовательно, вычислить объем куба можно так:

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем куба, если его ребро равняется 5 см.

Решение:
Подставляем в формулу заданное значение и получаем:
V = 5 см ⋅ 5 см ⋅ 5 см = 125 см 3 .

Задание 2
Известно, что объем куба равен 512 см 3 . Найдите длину его ребра.

Решение:
Пусть ребро куба – это a. Выведем его длину из формулы расчета объема:

Задание 3
Длина диагонали грани куба составляет 12 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим формулу, в которой используется диагональ грани:

Источник

Как найти объем куба: варианты задач и их решение

Современные технологии создают удивительные компьютерные программы. Они позволяют увидеть тела в объеме и покрутить их в разных направлениях, чтобы получше рассмотреть. Воображение человека не всегда на это способно. Немногие могут отчетливо представить предмет и увидеть его как бы насквозь. Но такое умение можно попытаться сформировать при решении задач по геометрии. Например, тех из них, в которых говорится о том, как найти объем куба. Это отличная практика для развития пространственного воображения.

Куб или параллелепипед?

Это непустой вопрос. Потому что классификация важна. Ведь куб — это особая форма прямоугольного параллелепипеда.

Последний представляет собой фигуру, в которой 6 граней, и все они прямоугольники. Углы, под которыми пересекаются все ребра, 90º. Соответственно, если эти грани станут квадратами, то и вся фигура преобразится в куб.

У прямоугольного параллелепипеда все линейные размеры, то есть высота, длина и ширина, могут существенно отличаться. В кубе же они всегда равны друг другу. Это его отличительный признак. Поэтому в задачах, которые требуют найти объем куба, рассмотренный момент непременно учитывается. Кстати, он существенно упрощает все математические записи и вычисления.

Условные обозначения в формулах и задачах

Без этого пункта будет сложно понять, как записаны формулы. Что подразумевается под каждой буквой и символом, подскажет следующая таблица.

Обозначения, принятые в формулах

Символ	Название элемента
а	ребро фигуры
д	диагональ грани
Д	диагональ куба
общепринятые в геометрии символы	площадь
	объем

Как найти элементы куба по его стороне?

Поскольку грань фигуры — это квадрат, то ее площадь определится по формуле №1, в которой известную величину нужно возвести в квадрат:

А диагональ любой грани вычисляется по формуле №2, в которой сторона умножается на корень из 2:

Предыдущая формула получается из теоремы Пифагора. Это легко понять, если увидеть, что диагональ грани — это гипотенуза прямоугольного треугольника. А катетами его становятся стороны квадрата.

Чтобы определить диагональ куба, нужна будет следующая формула №3, содержащая известную сторону и квадратный корень из 3:

Она тоже получается из теоремы Пифагора. Только в качестве гипотенузы выступает искомая диагональ. Катетами же становятся сторона квадрата и его диагональ.

Иногда требуется знать формулу для вычисления площади боковой поверхности этой фигуры. В ней квадрат стороны умножается на 4. Вот она (№4):

Понять, как получается эта формула, несложно. Боковых граней — 4. А это значит, что их общая площадь — учетверенное значение площади одного квадрата.

Если нужно определить площадь всей поверхности, то используют эту запись, в которой ушестеряется квадрат ребра (формула №5):

Она получается аналогично предыдущей формуле, только число квадратов увеличилось до 6.

Что такое объем?

Если говорить просто, то это место, которое занимает любое тело в пространстве. Любой предмет ограничен в пространстве поверхностями. Их может быть несколько, но возможны случаи, когда только одна. Например, если тело — это шар. Но эти поверхности обязательно замкнуты. Пространство, которое занимает геометрическое тело, и будет его вместимостью, или объемом.

Единицы измерения объема

Когда речь идет о твердых телах, то единицами объема всегда будут кубические величины. К примеру, метр, сантиметр или километр в кубе. Для жидкостей приняты литры, которые выражаются через кубические дециметры. Но если они занимают очень большие объемы, то их измеряют также в кубических метрах. Например, при учете расхода воды в квартире ее считают в м 3 . Так получается удобнее и проще в числовом выражении.

Способ 1: узнать объем куба, если известна сторона

Это самый простой из методов, который подскажет, как найти объем куба. Он заключается в том, чтобы просто возвести значение стороны в третью степень. Другими словами, нужно умножить сторону на себя три раза. По аналогии с произвольным прямоугольным параллелепипедом, когда нужно было умножать все его линейные размеры. Формула будет записана так (№6):

Способ 2: известна площадь всей поверхности

В этом случае нужно будет разделить известную величину на 6. Из промежуточного ответа извлечь квадратный корень и возвести число в куб. Если записать это формулой, то получится следующее (№7):

Способ 3: дана диагональ грани куба

Для того чтобы узнать, как вычислить объем куба, в этом случае нужно выполнить следующие действия. Сначала возвести известное значение в куб, а потом умножить его на квадратный корень из 2 и разделить на 4. Формула для этой задачи (№8):

Это уравнение получается таким образом: известную диагональ нужно разделить на корень из двух. Потом число возвести в третью степень. После выполнения преобразований получается в числителе куб диагонали, а в знаменателе 2√2. Математика требует, чтобы под чертой не было иррационального числа. Поэтому от него избавляются путем умножения на √2. Тогда в числителе появляется √2, а в знаменателе получается 4.

Способ 4: по диагонали куба

Формула, которая подскажет, как найти объем куба, будет содержать действия: возведение в квадрат диагонали, умножение ее на корень из 3 и деление всего на 9. Она будет записана так (№9):

Аналогично предыдущей формуле, в этой записи сначала диагональ делится на корень из трех и возводится в куб. После преобразований в знаменателе также появляется иррациональность, от которой нужно уходить. Так, в числителе возникает величина √3, а под чертой — 9.

Примеры заданий

Задача первая. Дан куб с ребром 12 см. Вычислить его объем и выразить ответ в квадратных метрах.

В этом задании будет сложнее перевести ответ в другие единицы, чем решить, как найти объем куба. Для выполнения первой части задания потребуется формула, записанная под номером 6. После возведения в куб числа 12 получится ответ 1728 см 3 . Теперь нужно вспомнить, как перевести их в кубические метры. Для этой цели ответ нужно разделить на 100 три раза. Сотня появилась из того факта, что в одном метре именно сто сантиметров. А деление выполняется трижды, потому что единицы в задании кубические. Итак, 1728 разделенное на 100 даст 17,28. После второго деления получится 0,1728. Третье действие даст ответ 0,001728 м 3 . Это и есть ответ задачи: объем куба равен 0,001728 м 3 .

Задача вторая. Имеется куб с площадью всей его поверхности, равной 600 дм 2 . Найти объем фигуры и выразить его в кубических метрах.

Для ответа на вопрос этого задания будет нужна формула номер 7. Первым действием известное число делится на 6. В ответе получается 100. Из него легко извлечь квадратный корень, он будет равен 10. Теперь десятку нужно возвести в куб. Так получается, что искомая величина равна 1000 дм 3 . Осталось перевести его в м 3 . Как и в предыдущей задаче, деление будет выполняться три раза, только делителем будет 10. Потому что в одном метре десять дециметров. После деления получается ответ равный 1 м 3 . Ответ: объем равен 1 м 3 .

Задача третья. Дан куб с длиной диагонали его грани, равной √2 мм. Нужно вычислить объем.

Восьмая формула поможет в том, как найти ответ в этой задаче. Первым делом нужно возвести в куб известную величину. Квадратный корень из 2 в третьей степени даст значение 2√2. После умножения на √2 получится число 4. Последним действием нужно его разделить на 4. Ответ: объем куба 1 мм 3 .

Задача четвертая. Известно, что диагональ куба равна 3 м. Требуется вычислить его объем.

Будет просто найти ответ на эту задачу по формуле под номером 9. Величину, которая дана в условии, нужно возвести в куб. Получится 27. После его деления на 9 ответ станет равен 3. И последним действием его нужно умножить на квадратный корень из 3. Ответом задачи будет 3√3 м 3 .

Источник

Объемы фигур. Объем куба.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте).

У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна

ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 ,

где s – длина одного (любого) ребра куба.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема куба: объем куба, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Метод 1 из 3: Возведение в куб ребра куба

• Найдите длину одного ребра куба. Как правило, длина ребра куба дана в условии задачи. Если вы

вычисляете объем реального объекта кубической формы, измерьте его ребро линейкой или рулеткой.

Рассмотрим пример. Ребро куба равно 5 см. Найдите объем куба.

Возведите в куб длину ребра куба. Другими словами, умножьте длину ребра куба саму на себя три раза.

Если s — длина ребра куба, то

и, таким образом, вы вычислите объем куба.

Этот процесс аналогичен процессу нахождения площади основания куба (равна произведению длины на

ширину квадрата в основании) и последующему умножению площади основания на высоту куба (то есть,

другими словами, вы умножаете длину на ширину и на высоту). Так как в кубе длина ребра равна ширине и

равна высоте, то это процесс можно заменить возведением ребра куба в третью степень.

В нашем примере объем куба равен:

• К ответу припишите единицы измерения объема. Так как объем – это количественная

характеристика пространства, занимаемого телом, то единицами измерения объема являются кубические

В нашем примере размер ребра куба давался в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических

сантиметрах (или в см 3 ). Итак, объем куба равен 125 см 3 .

Если размер ребра куба дается в других единицах, то и объем куба измеряется в соответствующих

Например, если ребро куба равно 5 м (а не 5 см), то его объем равен 125 м 3 .

Метод 2 из 3: Вычисление объема по площади поверхности

• В некоторых задачах длина ребра куба не дана, но даны другие величины, с помощью которых вы

можете найти ребро куба и его объем. Например, если вам дана площадь поверхности куба, то разделите

ее на 6, из полученного значения извлеките квадратный корень и вы найдете длину ребра куба. Затем

возведите длину ребра куба в третью степень и вычислите объем куба.

Площадь поверхности куба равна 6s 2 ,

где s – длина ребра куба (то есть вы находите площадь одной грани куба, а затем умножаете ее на 6, так

как у куба 6 равных граней).

Рассмотрим пример. Площадь поверхности куба равна 50 см 2 . Найдите объем куба.

• Разделите площадь поверхности куба на 6 (так как у куба 6 равных граней, вы получите площадь

одной грани куба). В свою очередь площадь одной грани куба равна s 2 , где s – длина ребра куба.

В нашем примере: 50/6 = 8,33 см 2 (не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах — см 2 ,

• Так как площадь одной грани куба равна s 2 , то извлеките квадратный корень из значения площади

одной грани и получите длину ребра куба.

В нашем примере, √8,33 = 2,89 см.

• Возведите в куб полученное значение, чтобы найти объем куба.

В нашем примере: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 см 3 . К ответу не забудьте приписать кубические

Метод 3 из 3: Вычисление объема по диагонали

• Разделите диагональ одной из граней куба на √2, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом,

если в задаче дана диагональ грани (любой) куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив

Рассмотрим пример. Диагональ грани куба равна 7 см. Найдите объем куба. В этом случае длина ребра куба

равна 7/√2 = 4,96 см. Объем куба равен 4,963 = 122,36 см 3 .

где d — диагональ грани куба, s – ребро куба. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно

которой квадрат гипотенузы (в нашем случае диагональ грани куба) прямоугольного треугольника равен

сумме квадратов катетов (в нашем случае ребер), то есть:

• Разделите диагональ куба на √3, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом, если в задаче

дана диагональ куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив диагональ на √3.

Диагональ куба — отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба, равный

(где D — диагональ куба, s – ребро куба).

Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы (в нашем случае

диагональ куба) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов (в нашем случае один катет –

это ребро, а второй катет – это диагональ грани куба, равная 2s 2 ), то есть

Рассмотрим пример. Диагональ куба равна 10 м. Найдите объем куба.

Источник