Как найти длинну ребра куба

Как найти ребро куба

В основном встречаются четыре типа задач, в которых необходимо найти ребро куба. Это определение длины ребра куба по площади грани куба, по объему куба, по диагонали грани куба и по диагонали куба. Рассмотрим все четыре варианта таких задач. (Остальные задания, как правило, являются вариациями вышеперечисленных или задачами по тригонометрии, имеющими весьма косвенное отношение к рассматриваемому вопросу)

Если известна площадь грани куба, то найти ребро куба очень просто. Так как грань куба представляет собой квадрат со стороной, равной ребру куба, то ее площадь равняется квадрату ребра куба. Следовательно длина ребра куба равняется корню квадратному из площади его грани, то есть:

Нахождение грани куба по его объему еще проще. Учитывая, что объем куба равен кубу (третьей степени) длины ребра куба, получаем что длина ребра куба равняется корню кубическому (третьей степени) из его объема, т.е.:

Немногим сложнее нахождение длины ребра куба по известным длинам диагоналей. Обозначим через:

b — длину диагонали грани куба;

Как видно из рисунка, диагональ грани и ребра куба образуют прямоугольный равносторонний треугольник. Следовательно, по теореме Пифагора:

(^ — значок возведения в степень).

(чтобы найти ребро куба нужно извлечь квадратный корень из половины квадрата диагонали грани).

Чтобы найти ребро куба по его диагонали, снова воспользуемся рисунком. Диагональ куба (с), диагональ грани (b) и ребро куба (а) образуют прямоугольный треугольник. Значит, согласно теореме Пифагора:

Воспользуемся вышеустановленной зависимостью между a и b и подставим в формулу

Источник

Ребро куба

Свойства

Зная ребро куба, геометрический калькулятор может рассчитать все остальные его параметры, такие как объем, площадь, диагонали и радиус сфер, которые могут быть вписаны в куб или описаны вокруг него.

Площадь стороны куба, то есть его грани, является площадью квадрата со стороной а, являющейся одновременно ребром куба. Поэтому чтобы вычислить площадь стороны куба, нужно применить стандартную формулу площади квадрата. S=a^2

Площадь боковой поверхности куба состоит из 4 боковых граней, а площадь полной поверхности – из 6 граней, поэтому их формулы представляют собой произведения площади одной грани куба на их необходимое количество. S_(б.п.)=4a^2 S_(п.п.)=6a^2

Чтобы вычислить объем куба, зная его ребро, необходимо возвести его в третью степень, так как все три измерения куба – длина, ширина и высота, — равны между собой. V=a^3

В некоторых случаях появляется необходимость рассчитать периметр куба, то есть сумму длин всех его ребер. В таком случае, периметр куба равен ребру куба, умноженному на 12. P=12a

Диагональ грани куба d – это диагональ квадрата, для которой была выведена стандартная формула по теореме Пифагора. d=a√2

Диагональ куба D в свою очередь соединяет противоположные вершины верхнего и нижнего оснований, образуя с боковым ребром и диагональю основания прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора в таком треугольнике приводит к единой формуле и для диагонали куба. (рис.2.1) a^2+d^2=D^2 D^2=a^2+2a^2 D^2=3a^2 D=a√3

По аналогии с вписанной и описанной окружностью около квадрата, вписанная и описанная сферы около куба имеют схожие определения радиусов. Радиус вписанной сферы представляет собой половину ребра куба, а радиус описанной окружности – половину диагонали куба. (рис. 2.2, рис.2.3) r=a/2 R=D/2=(a√3)/2

Источник

Полезные советы на все случаи жизни

Портал знаний для студента и школьника

Как найти длину всех ребер куба. Как найти сумму длин рёбер куба

Куб — это геометрическое тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, но при этом все его грани имеют форму квадрата, поэтому все его ребра равны. У куба 6 граней (равных друг другу по площади), 12 ребер (равных друг другу по длине) и 8 вершин.

Форму куба, например, могут иметь:

• игральная кость;
• кубик-Рубика;
• кубики льда;
• пуфик;
• аквариум;
• коробка;
• шкатулка;
• детский строительный кубик.

Вычисление длины ребер куба

Найти: сумму длин ребер куба.

Так как данный куб имеет 12 ребер, каждое из которых равно 11 см, то сумму его длин можно вычислить как произведение количества ребер на длину ребра:

Площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба можно находить двумя путями: арифметическим и по формуле.

Рассмотрим первый способ . Поверхность куба состоит из шести одинаковых по площади граней, имеющих форму квадрата. Зная, что ребро куба имеет длину 11 см, сначала вычислим площадь одной грани, то есть площадь квадрата со стороной 11 см (S = a * а или S = a²):

1) 11² = 11 * 11 = 121 (см²) — площадь одной грани куба.

А так как таких граней у куба 6, то:

2) 6 * 121 = 726 (см²) — площадь поверхности куба.

Рассмотрим второй способ . Опираясь на предыдущие рассуждения можно вывести формулу площади поверхности куба S = 6а². Тогда решение будет сведено к одному выражению:

S = 6а² = 6 * 11² = 6 * 121 = 726 (см²).

Нередко встречаются задачи, в которых необходимо найти ребро куба, зачастую это следует проделать на основе информации о его объеме, площади грани или её диагонали. Существует несколько вариантов определения ребра куба.

В том случае, если известна площадь куба, то можно легко определить ребро. Грань куба представляет собой квадрат со стороной, равной ребру куба. Соответственно, её площадь равняется квадрату ребра куба. Следует воспользоваться формулой: а=√S, где а – это длина ребра куба, а S – это площадь грани куба. Найти ребро куба по его объему – еще более простая задача. Нужно учитывать, что объем куба равен кубу (в третьей степени) длины ребра куба. Получается, что длина ребра равняется кубическому корню из его объема. То есть, мы получаем следующую формулу: а=√V, где а – это длина ребра куба, а V – объем куба.

По диагоналям также можно найти ребро куба. Соответственно, нам необходимы: а – длина ребра куба, b – длина диагонали грани куба, c – длина диагонали куба. По теореме Пифагора получаем: a^2+a^2=b^2, и отсюда можно легко вывести следующую формулу: a=√(b^2/2), по которой извлекается ребро куба.

Еще раз по теореме Пифагора (a^2+a^2=b^2) можно получить следующую зависимость: a^2+a^2+a^2=c^2, из которой выводим: 3*a^2=c^2, следовательно, ребро куба можно получить следующим образом: a=√(c^2/3).

«Вычисление объёма параллелепипеда» — 2. Объем прямоугольного параллелепипеда. Задание 1: Вычислить объемы фигур. 1. Математика 5 класс. 3. 4.

«Прямоугольный параллелепипед 5 класс» — Что такое объем? Прямоугольный параллелепипед. Другая формула объема прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда. Формула объема куба. Пример. Объем куба. Вершин — 8. Математика, 5 класс Логунова Л.В. Ребер — 12. Куб. Кубический сантиметр. Ребро куба равно 5 см. Граней — 6.

«Урок Прямоугольный параллелепипед» — 12. С1. В1. Длина. Параллелепипед. Вершины. Ребра. А1. Ширина. D. Грани. D1. 8. В. Прямоугольный параллелепипед.

«Объем параллелепипеда» — Значит, по правилу вычисления объема, получаем: 3х3х3=27 (см3). Еще в древности людям требовалось измерять количества каких-либо веществ. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ. В Древнем Вавилоне единицами объемов служили кубы. Теперь определим что же такое единицы объемов? Тема урока: Объем параллелепипеда.

«Прямоугольный параллелепипед» — Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. МОУ «Гимназия» №6. Слово встречалось у древнегреческих ученых Евклида и Герона. Работу выполнила Ученица 5 «В» класса Мендыгалиева Алина. Длина Ширина Высота. Параллелепипед – шестигранник, все грани которого (основания) – параллелограммы. Вершины. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

«Объем прямоугольного параллелепипеда» — Ребрами. 3. БЛИЦ – ОПРОС (I часть). A, в, с, d. Объемная. Какие ребра равны ребру АЕ? AE, EF, EH. 1. Любой куб является прямоугольным параллелепипедом. Квадраты. 5. У куба все ребра равны. 8. Прямоугольник. 12. 3. У куба все грани являются квадратами. Назовите ребра, имеющие вершину E.

Всего в теме 35 презентаций

Куб — это многогранник правильной формы с одинаковыми по форме и размерам гранями, представляющими собой квадраты. Из этого вытекает, что как для его построения, так и для расчетов всех связанных параметров достаточно знать всего одну величину. По ней можно найти объем, площадь каждой грани, площадь всей поверхности, длину диагонали, длину ребра или сумму длин всех ребер куба .

Инструкция

• Посчитайте количество ребер в кубе. У этой объемной фигуры шесть граней, что определяет другое ее название — правильный гексаэдр (hexa означает «шесть»). У фигуры из шести квадратных граней может быть только двенадцать ребер. Так как все грани — это одинаковые по размерам квадраты, то и длины всех ребер равны. Значит для нахождения суммарной длины всех ребер, надо узнать длину одного ребра и увеличить его в двенадцать раз.
• Умножайте длину одного ребра куба (A) на двенадцать, чтобы вычислить длину всех ребер куба (L): L=12∗A. Это самый простой из возможных способов определения суммарной длины ребер правильного гексаэдра.
• Если длина одного ребра куба не известна, но есть площадь его поверхности (S), то длину одного ребра можно выразить как квадратный корень из одной шестой части площади поверхности. Для нахождения длины всех ребер (L) полученную таким способом величину надо увеличить в двенадцать раз, а это значит, что в общем виде формула будет выглядеть так: L=12∗√(S/6).
• Если известен объем куба (V), то длину одной его грани можно определить как кубический корень из этой известной величины. Тогда длину всех граней (L) правильного тетраэдра будут составлять двенадцать кубических корней из известного объема: L=12∗³√V.
• Если известна длина диагонали куба (D), то для нахождения одного ребра это значение надо разделить на квадратный корень из трех. Длину всех ребер (L) в этом случае можно будет вычислить как произведение числа двенадцать на частное от деления длины диагонали на корень из трех: L=12∗D/√3.
• Если известна длина радиуса вписанной в куб сферы (r), то длина одной грани будет равна половине этой величины, а суммарная длина всех ребер (L) — этой величине, увеличенной в шесть раз: L=6∗r.
• Если известна длина радиуса не вписанной, а описанной сферы (R), то длина одного ребра будет определяться как частное от деления удвоенной длины радиуса на квадратный корень из тройки. Тогда длина всех ребер (L) будет равна двадцати четырем длинам радиуса, поделенным на корень из трех: L=24∗R/√3.

Куб — это многогранник правильной формы с одинаковыми по форме и размерам гранями, представляющими собой квадраты. Из этого вытекает, что как для его построения, так и для расчетов всех связанных параметров достаточно знать всего одну величину. По ней можно найти объем, площадь каждой грани, площадь всей поверхности, длину диагонали, длину ребра или сумму длин всех ребер куба .

Инструкция

Посчитайте количество ребер в кубе. У этой объемной фигуры шесть граней, что определяет другое ее название — правильный гексаэдр (hexa означает «шесть»). У фигуры из шести квадратных граней может быть только двенадцать ребер. Так как все грани — это одинаковые по размерам квадраты, то и длины всех ребер равны. Значит для нахождения суммарной длины всех ребер, надо узнать длину одного ребра и увеличить его в двенадцать раз.

Умножайте длину одного ребра куба (A) на двенадцать, чтобы вычислить длину всех ребер куба (L): L=12&lowast-A. Это самый простой из возможных способов определения суммарной длины ребер правильного гексаэдра.

Если длина одного ребра куба не известна, но есть площадь его поверхности (S), то длину одного ребра можно выразить как квадратный корень из одной шестой части площади поверхности. Для нахождения длины всех ребер (L) полученную таким способом величину надо увеличить в двенадцать раз, а это значит, что в общем виде формула будет выглядеть так: L=12&lowast-&radic-(S/6).

Если известен объем куба (V), то длину одной его грани можно определить как кубический корень из этой известной величины. Тогда длину всех граней (L) правильного тетраэдра будут составлять двенадцать кубических корней из известного объема: L=12&lowast-?&radic-V.

Если известна длина диагонали куба (D), то для нахождения одного ребра это значение надо разделить на квадратный корень из трех. Длину всех ребер (L) в этом случае можно будет вычислить как произведение числа двенадцать на частное от деления длины диагонали на корень из трех: L=12&lowast-D/&radic-3.

Если известна длина радиуса вписанной в куб сферы (r), то длина одной грани будет равна половине этой величины, а суммарная длина всех ребер (L) — этой величине, увеличенной в шесть раз: L=6&lowast-r.

Если известна длина радиуса не вписанной, а описанной сферы (R), то длина одного ребра будет определяться как частное от деления удвоенной длины радиуса на квадратный корень из тройки. Тогда длина всех ребер (L) будет равна двадцати четырем длинам радиуса, поделенным на корень из трех: L=24&lowast-R/&radic-3.

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник