Решение кубических уравнений
Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.
Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0
Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что
x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0
Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.
Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .
Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0
Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.
Ответ: x = 3 3 2 6 .
Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0
Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что
A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A
Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.
Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .
Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что
5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0
Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :
5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10
x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1
Решение кубических уравнений с рациональными корнями
Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .
Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .
3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0
Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что
D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.
Ответ: х = 0 .
Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :
A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2
Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.
Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .
Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что
2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0
Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36
Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида
1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0
Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .
Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:
| x i | Коэффициенты многочлена | |||
|---|---|---|---|---|
| 2 | — 11 | 12 | 9 | |
| — 0 . 5 | 2 | — 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12 | 12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18 | 9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0 |
2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9
После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.
Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .
Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.
Решение кубических уравнений по формуле Кардано
Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .
После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .
Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3
Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.
Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .
Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .
Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .
p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108
Производим подстановку в формулу Кордано и получим
y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3
— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.
— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2
Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2
Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6
Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2
Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .
Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .
Преобразуем при помощи формулы Кордано:
y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6
x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3
Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3
При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.
Кубические уравнения
Кубическое уравнение – уравнение вида \[<\large
где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.
Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\) .
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\) , где \(m, n\) – некоторые числа.
для любого числа \(a\) имеют единственный корень
Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]<-8>=-2\) .
\(<\color
Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\) .
Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]
Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\) .
В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:
\[\begin
\(<\color
Для этого можно использовать следующие утверждения:
\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\) , то корнем уравнения является число \(1\) .
\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\) , то корнем уравнения является число \(-1\) .
\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\) – \(<\color \(d\) делится нацело на \(p\) ; \(a\) делится нацело на \(q\) . 1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\) , значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения. 2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\) , значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения. 3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\) ; делители старшего коэффициента \(2\) : \(\pm1, \pm2\) . Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\] Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство): \[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\] Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\) . Найдите корень уравнения \((2x + 1)^3 = 27\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них. ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ: Исходное уравнение \((2x + 1)^3 = 3^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(2x + 1 = 3\) , откуда заключаем, что \(x = 1\) – подходит по ОДЗ. Найдите корень уравнения \((2x + 1)^3 = -27\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них. ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ: Исходное уравнение \((2x + 1)^3 = (-3)^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(2x + 1 = -3\) , откуда заключаем, что \(x = -2\) – подходит по ОДЗ. Найдите корень уравнения \((3x + 2)^3 = -64\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них. ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ: Исходное уравнение \((3x + 2)^3 = (-4)^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(3x + 2 = -4\) , откуда заключаем, что \(x = -2\) – подходит по ОДЗ. Найдите корень уравнения \((7x + 11)^3 = 64\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них. ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ: Исходное уравнение \((7x + 11)^3 = 4^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(7x + 11 = 4\) , откуда заключаем, что \(x = -1\) – подходит по ОДЗ. Найдите корень уравнения \((-x — 11)^3 = 216\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них. ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ: Исходное уравнение \((-x — 11)^3 = 6^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(-x — 11 = 6\) , откуда заключаем, что \(x = -17\) – подходит по ОДЗ. Решите уравнение \(8x^3-36x^2+54x-27=0\) . Заметим, что левая часть представляет из себя куб разности: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x-3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac32.\] Найдите больший корень уравнения \(8x^3+12x^2+6x+1=0\) . Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x+1)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-\frac12.\] В ЕГЭ кубические уравнения встречаются как в профильном, так и в базовом уровне. Это значит, что уметь верно решать подобные задания необходимо каждому школьнику. Некоторые могут сказать, что количество баллов в ЕГЭ за решение уравнений третьей степени невелико и тратить на них время нецелесообразно. С этим трудно согласиться. Во-первых, в ЕГЭ крайне важен каждый бал, во-вторых, уравнения третьей степени не так уж и сложны, если уделить им должное внимание в ходе подготовки. Для того чтобы учащийся мог оперативно и, главное, правильно выполнить подобные задания, стоит воспользоваться нашим образовательным ресурсом. «Школково» — это уникальная платформа, которая позволяет выпускникам из Москвы и других регионов с любым уровнем математических знаний научиться решать кубические уравнения, а также другие виды, например, тригонометрические уравнения и эффективно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Прежде всего мы рекомендуем вам начать с повторения или изучения теоретического материала по данной теме. «Школково» представляет вниманию учащихся из Москвы и других городов, которые готовятся к ЕГЭ, по сути, авторское пособие, в котором ясно и доступно изложен материал по теме «Кубические уравнения». Помимо изложения основных определений и формул, вы сможете познакомиться с примерами по теме и изучить способы их решения. При этом стоит отметить, что наши специалисты подобрали весьма интересные варианты. Для того чтобы вы научились уверенно решать экзаменационные задачи, нужна тренировка. Поэтому рекомендуем вам затем перейти в раздел «Каталог» и приступить к самостоятельной работе с уравнениями третьей степени.>\) , то для него будет выполнено: