Формулы для куба с диагональю

Формулы куба

Для расчёта всех основных параметров куба воспользуйтесь калькулятором.

Части куба, свойства, определения

— это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата

  • У куба шесть граней
  • Каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная противоположной грани
  • Грани имеют одинаковую площадь, а так как являются квадратами, то формула площади грани S = a 2

— это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.

  • У куба двенадцать рёбер
  • Каждое ребро перпендикулярно по отношению к примыкающим рёбрам
  • Все ребра куба имеет одинаковую длину

— это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба

  • У куба три оси
  • Оси куба взаимно перпендикулярны

— отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

  • куб имеет четыре диагонали;
  • диагонали куба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в центре куба;
  • диагонали куба имеют одинаковую длину;

Формулы куба

  • через длину ребра $$ V = a^3 $$
  • через длину диагонали куба $$ V = > $$

Вписанная и описанная сфера куба

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.

Радиус вписанной сферы через длину ребра

Объем вписанной сферы через длину ребра

Сфера, описанная вокруг куба

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами

Радиус описанной сферы через длину ребра

Объем сферы описанной вокруг куба V через длину ребра

Объём сферы (шара) через радиус, VC

Площадь поверхности сферы (шара), SC

Источник

Формулы для куба с диагональю

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

  1. Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.
  2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

  • a – ребро куба;
  • d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Источник

Диагональ куба

Свойства

Диагональ куба – это отрезок, который находится во внутреннем пространстве куба, благодаря тому, что его вершины находятся на противоположных сторонах. Поэтому для того чтобы представить диагональ куба в алгебраическом виде, необходимо заключить ее в фигуру, соединив данную диагональ и боковое ребро, исходящее из любой вершины диагонали через диагональ основания. Получив, таким образом, прямоугольный треугольник, можно составить отношение сторон по теореме Пифагора и вывести формулу для диагонали куба. Ребро куба будет равно отношению диагонали к корню из трех. a^2+d^2=D^2 D^2=a^2+2a^2 D^2=3a^2 D=a√3 a=D/√3

Площадь стороны куба равна ребру куба, возведенному во вторую степень, площадь боковой поверхности представляет собой четыре таких площади стороны, а площадь полной поверхности состоит из 6 граней. Площади куба, выраженные через диагональ, принимают следующий вид: S=a^2=D^2/3 S_(б.п.)=4a^2=(4D^2)/3 S_(п.п.)=6a^2=2D^2

Объем куба равен его ребру в третьей степени, а объем куба, зная диагональ куба, будет равен диагонали, возведенной в третью степень, и деленной на три корня из трех. V=a^3=D^3/(3√3)

Чтобы вычислить периметр куба, нужно ребро куба умножить на двенадцать. Если выразить периметр грани через диагональ куба, то он примет вид отношения диагонали, умноженной на четыре корня из трех. P=12a=4√3 D

Чтобы найти диагональ стороны куба, то есть диагональ, лежащую на боковой грани, можно воспользоваться формулой диагонали квадрата, которая выглядит как произведение стороны квадрата/ребра куба на корень из двух. d=a√2=(D√2)/√3

Радиус вписанной в куб сферы равен половине ребра куба, то есть диагонали куба, деленной на два корня из трех, а радиус описанной вокруг куба сферы равен половине самой диагонали куба. (рис. 2.2, рис.2.3) r=a/2=D/(2√3) R=D/2

Источник

Диагональ куба: что это такое и как ее найти?

Диагональ куба — это один из элементов, который потребуется знать при решении заданий по стереометрии во время выполнения итоговой работы по математике за курс основной школы.

Немного теории о кубе

Этот многогранник относится сразу к прямым параллелепипедам и призмам. Он — частный случай того и другого. В основании куба лежит квадрат, и боковые ребра его равны стороне данного квадрата. Таким образом, все три измерения имеют одинаковые значения.

Все шесть граней куба представляют собой квадраты. Длина каждого из 12 ребер одинаковая.

В каждой из граней можно провести диагональ, длину которой легко найти по формуле Пифагора. Кроме того, сам куб имеет диагонали. Их всего четыре. Проводится диагональ куба так, чтобы начинаться из вершины нижнего основания. Конец этого отрезка оказывается в вершине верхнего основания, но так, чтобы не совпасть с диагональю квадрата.

Важные формулы

В них потребуется ввести одинаковое обозначение. Чаще всего буква «а» — это сторона куба. «V» приходится на объем. «S» и «d» соответственно площадь и диагональ. «R» и «r» радиусы описанной и вписанной сфер.

V= a³ (№1) используется для нахождения объема;

S= a² (№2) формула для площади грани;

S= 6a² (№3) необходима для расчета площади всей поверхности куба;

если требуется узнать диагональ куба, формула будет такой d=а3 (№4);

Несколько слов о симметрии куба

У этого геометрического тела есть два вида симметрии: относительно точки и оси. Для нахождения первой потребуется провести диагональ куба, потом вторую, чтобы найти точку их пересечения. Она будет центром симметрии.

Все прямые, которые проходят через эту точку и являются перпендикулярными к граням, оказываются осями симметрии.

Примеры заданий из ЕГЭ

Они используются в части В, то есть там, где нужно выполнить развернутое решение задания. Просто выбрать ответ здесь не удастся. Поэтому придется знать формулы и уметь их применять в различных ситуациях.

Первая группа заданий. В ней известна длина диагонали куба. Требуется вычислить его объем или узнать площадь поверхности.

К примеру, известная величина может быть равна единице. Тогда, чтобы узнать объем и площадь, нужно воспользоваться формулами № 1 и 3. Но в них идет речь о ребре, а дана диагональ. Потребуется записать еще одну формулу.

Если посмотреть на чертеж куба и проведенную в нем диагональ, то можно увидеть, что образуется прямоугольный треугольник. Один его катет совпадает с ребром, второй — с диагональю грани, а гипотенузой оказывается диагональ куба.

Тогда можно записать теорему Пифагора: квадрат гипотенузы (d 2 ) равен квадрату перового катета (а 2 ), сложенному с квадратом второго (а√2) 2 . После выполнения преобразований получается, что ребро куба а так связано с диагональю, что равно d, деленному на корень квадратный из 3.

Теперь можно начала узнать ребро, а потом подсчитать объем и площадь. В конкретной задаче а=1/√3=(√3)/3. Тогда объем получается равным (√3)/9. Площадь же — два.

Вторая группа заданий. Обратная предыдущей, когда известны площадь или объем, а требуется вычислить значение диагонали куба.

Примером может служить задача, в которой известна площадь поверхности, и она равна 8. Необходимо будет воспользоваться формулой №3 и той зависимостью, которая выведена в предыдущей задаче.

Сначала потребуется узнать длину ребра. Она равна квадратному корню из частного S на 6. После подстановки известной величины а=√(8/6)=√(4/3). Теперь осталось вычислить диагональ куба, возведя это число в квадрат и умножив его на 3. Получится 2.

Третья группа заданий содержит данные о диагонали грани куба. В них необходимо узнавать объем или площадь тела. Возможен также вариант, в котором потребуется вычислить диагональ самого куба. В таких задачах рассуждения идут тем же путем, который рассмотрен в предыдущих случаях.

Источник

Геометрические фигуры. Куб.

Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.

Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных

шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям.

В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть,

сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:

Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра

Свойства куба.

  • 4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба

перпендикулярно четырём его главным диагоналям.

  • В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда

совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м

случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной

из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно

противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от

  • В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней
  • Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней
  • В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на

6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра

располагается на 6-ти гранях куба.

Элементы симметрии куба.

Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые

параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку

пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии

куба будет точка пересечения диагоналей куба.

Сквозь центр симметрии куба проходят 9 осей симметрии.

Плоскостей симметрии у куба тоже 9, они пролегают или

через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или

через середины противолежащих ребер (таких 3).

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector