Есть ли формула разность кубов

Разность кубов

Что такое разность кубов и куб разности

Для возведения чисел и выражений в степень, а также для упрощения умножения используют формулы сокращенного умножения. Благодаря им вычисления проводятся компактнее и быстрее. К ним относят формулу разности кубов, которую важно не путать с кубом разности.

Разность кубов двух переменных равна произведению разности этих переменных на неполный квадрат их суммы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Буквами a и b в формуле могут служить любые числа, переменные, одночлены и многочлены.

В этом определении квадрат суммы выражений называют неполным, поскольку он представляет собой сокращенный вариант формулы вида:

Как видно, в формуле разности кубов во второй скобке не удвоенное произведение, а одинарное.

Куб разности двух переменных равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое, минус куб второго выражения.

Вывод формулы разности кубов, как раскладывается

Формулу разности двух кубов можно вывести из куба разности . \(a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3a^2b-3ab^2=<(a-b)>^3+3ab(a-b)=(a-b)(<(a-b)>^2+3ab)=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2) \) Что и требовалось доказать.

Правила применения формул сокращенного умножения

Формулу разности кубов используют:

  • для разложения многочленов на множители;
  • для упрощения сложных выражений.

Основное свойство формул сокращенного умножения заключается в том, что они работают в обе стороны. Чтобы доказать это, достаточно пойти от обратного:

  • раскрыть скобки;
  • разложить многочлен на множители;
  • сократить.

Примеры задач с решением

Упростить выражение (x^2-1)(x^4+x^2+1).

Данное произведение многочленов является правой частью формулы разности кубов. На месте a стоит \(x^2\) , а на месте b — 1. Тогда:

Представить в виде произведения множителей выражение \(<(4y)>^3-5^3.\)

Источник

Как использовать разность кубов

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что « 27а 3 » — это « (3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо « a » мы используем « 3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов « (x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов « a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « 1 ».

Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить « (y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », то можно понять, что на месте « a » из первой скобки стоит « y 2 , а на месте « b » стоит « 1 ».

Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте « a » стоит « y 2 ». Это означает, что именно « y 2 » мы рассматриваем как « a ».

Представим скобку « (y 4 + y 2 + 1) » таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

Используем формулу разности кубов и решим пример до конца.

Источник

Сумма и разность кубов двух выражений

Формула суммы кубов

Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):

и найдём из неё сумму двух кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.

Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $

Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула разности кубов

Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):

и найдём из неё разность двух кубов:

$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$

Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.

Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$

Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $

г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$

Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8

Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).

Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_ = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_ <ор>= a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_ <син>= b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$

$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

Источник

Разность кубов

В алгебре разность кубов, как и любая другая формула сокращенного умножения, является тождеством, то есть может быть использована как для перехода из левой части к правой, так и для перехода в обратном направлении.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответственно, получаем правило для разложения разности кубов на множители.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

С помощью схемы разность кубов можно представить так:

На практике, однако, условие подробно не расписывают. Значит, прежде чем применить формулу разности кубов, надо сначала ее увидеть.

Например, чтобы разложить по формуле разность

надо сначала увидеть, что 125 — это куб 5, а 8a — куб (2a):

и только после этого расписать выражение как разность кубов:

На первых шагах работы с формулой помочь в работе может схема:

Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть куб числа:

помогут нам представить степень и произведение степеней в виде куба.

Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью разности кубов.

Чтобы найти, сколько знаков нужно поставить после запятой, если известен куб числа, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3. У 0,008 после запятой стоит три знака, значит, у числа, которое возвели в куб, знаков после запятой в три раза меньше — один. У 0,000000001 — 9 знаков после запятой. Делим девять на 3. У числа, которое возводят в куб, после запятой — три знака:

Источник

Разность кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Формула разности кубов

Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.

Формула верна и в обратную сторону:

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3

Примечание: a 3 – b 3 ≠ (a – b) 3

Доказательство формулы

Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a 2 + ab + b 2 ) , чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – a 2 b – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3 .

Примеры задач

Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x) 3 – 5 3 .

Решение
(7x) 3 – 5 3 = (7x – 5)((7x) 2 + 7x ⋅ 5 + 5 2 ) = (7x – 5)(49x 2 + 35x + 25)

Задание 2
Представьте выражение 512x 3 – 27y 3 в виде разности кубов и разложите его на множители.

Решение
512x 3 – 27y 3 = ((8x) 3 – (3y) 3 ) = (8x – 3y)((8x) 2 + 8x ⋅ 3y + (3y) 2 ) = (8x – 3y)(64x 2 + 24xy + 9y 2 )

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формулы сокращённого умножения.
  • Сумма кубов, разность кубов.
  • Разложение многочлена на множители.
  • Тождественные преобразования.
  • Вычисление значения числовых выражений.

Формулы сокращённого умножения.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

  • упрощение умножения многочленов;
  • разложение многочлена на множители;
  • вычисление значения числового выражения;
  • тождественные преобразования.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 +b 3 = a 3 + b 3

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – ba 2 – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

Выражения (a 2 + ab + b 2 ) и (a 2 – ab + b 2 ) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a 3 + b 3 и a 3 – b 3 на два множителя:

(a + b)(a 2 – a b+ b 2 ) и (a – b)(a 2 + ab + b 2 ).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Выполните умножение многочленов:

  1. ( x + 3)(x 2 –3x +9) = x 3 + 3 3 = x 3 + 27.
  2. (2x – 3y)(4x 2 +6xy + 9y 2 ) = (2x) 3 – (3y) 3 = 8x 3 –27y 3 .

Разложите многочлен на множители:

  1. x 3 – 8 y 3 = x 3 – (2y) 3 = (x – 2y) (x 2 +2xy + 4y 2 )
  2. 64 a 3 – 27c 3 = (4a) 3 – (3c) 3 = (4a – 3c)(16a 2 +12 ac + 9c 2 ).

x 3 + 2 3 – x(x 2 – 9) = x 3 + 8 – x 3 + 9x = 8 + 9x.

Доказать, что выражение 123 3 + 27 3 кратно 50.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ),

получим: (123 + 27)(123 2 123 · 27 + 27 2 ) =150 · (123 2 123 · 27 + 27 2 ).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector