Даны координаты четырех вершин куба как найти остальные координаты

Как найти координаты вершин куба в пространстве

11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Введение

Если через точку О в про­стран­стве мы про­ве­дем три пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые, на­зо­вем их, вы­бе­рем на­прав­ле­ние, обо­зна­чим еди­нич­ные от­рез­ки, то мы по­лу­чим пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат в про­стран­стве. Оси ко­ор­ди­нат на­зы­ва­ют­ся так: Ох – ось абс­цисс, Оy – ось ор­ди­нат и Оz – ось ап­пли­кат. Вся си­сте­ма ко­ор­ди­нат обо­зна­ча­ет­ся – Oxyz. Таким об­ра­зом, по­яв­ля­ют­ся три ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти: Оxy, Оxz, Оyz.

При­ве­дем при­мер по­стро­е­ния точки В(4;3;5) в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат (см. Рис. 1).

Рис. 1. По­стро­е­ние точки B в про­стран­стве

Пер­вая ко­ор­ди­на­та точки B – 4, по­это­му от­кла­ды­ва­ем на Ox 4, про­во­дим пря­мую па­рал­лель­но оси Oy до пе­ре­се­че­ния с пря­мой, про­хо­дя­щей через у=3. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем точку K. Эта точка лежит в плос­ко­сти Oxy и имеет ко­ор­ди­на­ты K(4;3;0). Те­перь нужно про­ве­сти пря­мую па­рал­лель­но оси Oz. И пря­мую, ко­то­рая про­хо­дит через точку с ап­пли­ка­той 5 и па­рал­лель­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма в плос­ко­сти Oxy. На их пе­ре­се­че­нии мы по­лу­чим ис­ко­мую точку B.

Рас­смот­рим рас­по­ло­же­ние точек, у ко­то­рых одна или две ко­ор­ди­на­ты равны 0 (см. Рис. 2).

На­при­мер, точка A(3;-1;0). Нужно про­дол­жить ось Oy влево до зна­че­ния -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пе­ре­се­че­нии линий, про­хо­дя­щих через эти зна­че­ния, по­лу­ча­ем точку А. Эта точка имеет ап­пли­ка­ту 0, а зна­чит, она лежит в плос­ко­сти Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абс­цис­су и ап­пли­ка­ту 0 – не от­ме­ча­ем. Ор­ди­на­та равна 2, зна­чит точка C лежит толь­ко на оси Oy, ко­то­рая яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем плос­ко­стей Oxy и Oyz.

Чтобы от­ло­жить точку D(-4;0;3) про­дол­жа­ем ось Ox назад за на­ча­ло ко­ор­ди­нат до точки -4. Те­перь вос­ста­нав­ли­ва­ем из этой точки пер­пен­ди­ку­ляр – пря­мую, па­рал­лель­ную оси Oz до пе­ре­се­че­ния с пря­мой, па­рал­лель­ной оси Ox и про­хо­дя­щей через зна­че­ние 3 на оси Oz. По­лу­ча­ем току D(-4;0;3). Так как ор­ди­на­та точки равна 0, зна­чит точка D лежит в плос­ко­сти Oxz.

Сле­ду­ю­щая точка E(0;5;-3). Ор­ди­на­та точки 5, ап­пли­ка­та -3, про­во­дим пря­мые про­хо­дя­щие через эти зна­че­ния на со­от­вет­ству­ю­щих осях, и на их пе­ре­се­че­нии по­лу­ча­ем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую ко­ор­ди­на­ту 0, зна­чит она лежит в плос­ко­сти Oyz.

2. Координаты вектора

На­чер­тим пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат в про­стран­стве Oxyz. За­да­дим в про­стран­стве пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Oxyz. На каж­дой из по­ло­жи­тель­ных по­лу­осей от­ло­жим от на­ча­ла ко­ор­ди­нат еди­нич­ный век­тор, т. е. век­тор, длина ко­то­ро­го равна еди­ни­це. Обо­зна­чим еди­нич­ный век­тор оси абс­цисс (см. рис. 1). Эти век­то­ры со­на­прав­ле­ны с на­прав­ле­ни­я­ми осей, имеют еди­нич­ную длину и ор­то­го­наль­ны – по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Такие век­то­ра на­зы­ва­ют ко­ор­ди­нат­ны­ми век­то­ра­ми или ба­зи­сом.

Рис. 1. Раз­ло­же­ние век­то­ра по трем ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам

Возь­мем век­тор по трем ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам:

Ко­эф­фи­ци­ен­ты этого раз­ло­же­ния x, y и z на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра в про­стран­стве.

Рас­смот­рим пра­ви­ла, ко­то­рые поз­во­ля­ют по ко­ор­ди­на­там дан­ных век­то­ров найти ко­ор­ди­на­ты их суммы и раз­но­сти, а также ко­ор­ди­на­ты про­из­ве­де­ния дан­но­го век­то­ра на дан­ное число.

1) Сло­же­ние:

2) Вы­чи­та­ние:

Век­тор, на­ча­ло ко­то­ро­го сов­па­да­ет с на­ча­лом ко­ор­ди­нат, на­зы­ва­ет­ся ра­ди­усвек­то­ром. (Рис. 2). Век­тор . В дан­ном слу­чае x – это пер­вая ко­ор­ди­на­та точки A на оси Ox, y – ко­ор­ди­на­та точки B на оси Oy, z – ко­ор­ди­на­та точки C на оси Oz. По ри­сун­ку видно, что ко­ор­ди­на­ты ра­ди­ус-век­то­ра од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точки М.

Возь­мем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Пред­ста­вим век­тор . Таким об­ра­зом, ко­ор­ди­на­ты век­то­ра мы можем вы­ра­зить через ко­ор­ди­на­ты конца и на­ча­ла век­то­ра.

Рас­смот­рим при­ме­ры, ил­лю­стри­ру­ю­щие свой­ства век­то­ров и их вы­ра­же­ние через ко­ор­ди­на­ты. Возь­мем век­то­ры это зна­чит найти ко­ор­ди­на­ты век­то­ра , ко­то­рые пол­но­стью его опре­де­ля­ют. Под­став­ля­ем в вы­ра­же­ние вме­сто век­то­ров со­от­вет­ствен­но их ко­ор­ди­на­ты. По­лу­ча­ем:

Те­перь умно­жа­ем число 3 на каж­дую ко­ор­ди­на­ту в скоб­ках, и то же самое де­ла­ем с 2:

У нас по­лу­чи­лась сумма трех век­то­ров, скла­ды­ва­ем их по изу­чен­но­му выше свой­ству:

Ответ:

Дано: Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да AOBC (см. рис. 4). Плос­ко­сти AOB, AOC и OCB – по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. OA=3, OB=7, OC=4; M — сер.AC; N — сер.OC; P – сер. CB.

Ре­ше­ние: Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Oxyz с на­ча­лом от­сче­та в точке O. По усло­вию обо­зна­ча­ем точки A, B и C на осях и се­ре­ди­ны ребер пи­ра­ми­ды – M, P и N. По ри­сун­ку на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты вер­шин пи­ра­ми­ды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Чтобы найти ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Те­перь най­дем ко­ор­ди­на­ты точки P. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на плос­кость Oxy, по­лу­ча­ем зна­че­ние 3,5 по оси ор­ди­нат. И про­ве­дя пер­пен­ди­ку­ляр к оси Oz, по­лу­ча­ем зна­че­ние 2 по оси ап­пли­кат. Точка P имеет ко­ор­ди­на­ты (0;3,5;2). Зная ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек, най­дем ко­ор­ди­на­ты остав­ших­ся век­то­ров.

;

.

Представьте, перед вам нарисованный куб с осями координат, направленным по трем ребрам, выходящим из одной вершины. За единицу масштаба берем ребро куба и обозначим вершины буквами $%A$%, $%B$%, $%C$%, $%D$%, $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$% и $%D_1$%. Нужно:

  1. Найти координаты всех вершин куба.
  2. Найти координаты середины ребра $%CC_1$%.
  3. Найти, чему равно расстояние от вершины $%(0;0;0)$% куба до точки пересечения диагоналей грани $%BB_1C_1C$%.

задан 15 Мар ’15 11:56

melwentay
230 ● 6 ● 42
95&#037 принятых

Здесь не сказано, какая из вершин принята за начало координат а также не указан порядок выбора осей, что создаёт неоднозначность в ответах на некоторые из пунктов. Координаты вершин всегда имеют вид 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 (пишу для простоты без скобок и промежуточных запятых). Для всего остального требуются уточнения, хотя там всё в принципе просто.

@falcao, начало координат-точка А. Оси x,y,z соответствуют ребрам AB, AD, AA1

Тогда все координаты непосредственно видны из рисунка: B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), C1(1;1;1). Середина ребра соответствует полусумме координат: (1;1;1/2). В пункте 3 берётся середина грани, координаты (1;1/2;1/2). Расстояние до нуля — корень из суммы квадратов, то есть $%sqrt =sqrt6/2$%.

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

  1. Начало координат — в точке A;
  2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
  3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA1.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка A B C D
Координаты (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0)
Точка A1 B1 C1 D1
Координаты (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B1 = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

  1. Начало координат — в точке A;
  2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
  3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C1. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector