Дан куб abcda1b1c1d1 найдите угол между плоскостями ab1d1 acd1

Задача 8184 Дан куб ABCDA1B1C1D1 1) Докажите, что.

Условие

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C

Решение

1)Все грани куба- квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1- проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1- равносторонний, Проведем высоту ВК (К- точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)-KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3- B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK- прямой
Итак, B1D- перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.

2) Плоскость АВ1С1- это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C- это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC- высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²-2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²-2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=-1/2 ∠AEC=120°

значения которые вы взяли для пункта А, они произвольные?

Дан куб, все ребра либо а, либо 1. Принципиальной разницы в решении нет, а все равно сократится.

Источник

Задача 8184 Дан куб ABCDA1B1C1D1 1) Докажите, что.

Условие

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C

Решение

1)Все грани куба- квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1- проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1- равносторонний, Проведем высоту ВК (К- точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)-KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3- B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK- прямой
Итак, B1D- перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.

2) Плоскость АВ1С1- это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C- это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC- высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²-2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²-2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=-1/2 ∠AEC=120°

значения которые вы взяли для пункта А, они произвольные?

Дан куб, все ребра либо а, либо 1. Принципиальной разницы в решении нет, а все равно сократится.

Источник

Дан куб abcda1b1c1d1 найдите угол между плоскостями ab1d1 acd1

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.

а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 5.

а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?

б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 8.

а) Докажите, что плоскость BCA1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей АВС1 и А1В1С параллельна основаниям призмы.

б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и А1В1С, если известно, что АС = 1, ВС = 2, АВ = СС1 = 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольной пирамиде SABC точка Е — середина ребра SA, точка F — середина ребра SB, О — точка пересечения медиан треугольника АВС.

а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т — середина SC, пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна а SB = 10.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость α параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 1, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью α и плоскостью ASC, если угол SAC равен 30°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью DCC1 угол 30°.

б) Найдите угол между плоскостями MNO и DCC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой BD1.

а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB1 и B1D.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен и

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ACC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.

а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.

б) Найдите объем пирамиды, если боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания, образуют двугранный угол 120°, а боковая грань, составляющая с плоскостью основания угол в 30°, имеет площадь 36 см 2 .

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем BC = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что P — середина BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если SD = 9.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA1B1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D — середина ребра CC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах AA1 и A1C1 выбраны точки M и N соответственно так, что AM = A1N = 2.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ACC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ADD1.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector