Задача 8184 Дан куб ABCDA1B1C1D1 1) Докажите, что.
Условие
1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C
Решение
1)Все грани куба- квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1- проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1- равносторонний, Проведем высоту ВК (К- точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)-KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3- B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK- прямой
Итак, B1D- перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.
2) Плоскость АВ1С1- это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C- это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC- высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²-2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²-2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=-1/2 ∠AEC=120°
значения которые вы взяли для пункта А, они произвольные?
Дан куб, все ребра либо а, либо 1. Принципиальной разницы в решении нет, а все равно сократится.
Задача 8184 Дан куб ABCDA1B1C1D1 1) Докажите, что.
Условие
1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C
Решение
1)Все грани куба- квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1- проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1- равносторонний, Проведем высоту ВК (К- точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)-KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3- B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK- прямой
Итак, B1D- перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.
2) Плоскость АВ1С1- это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C- это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC- высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²-2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²-2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=-1/2 ∠AEC=120°
значения которые вы взяли для пункта А, они произвольные?
Дан куб, все ребра либо а, либо 1. Принципиальной разницы в решении нет, а все равно сократится.
Дан куб abcda1b1c1d1 найдите угол между плоскостями ab1d1 acd1
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.
а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 5.
а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость BCA1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей АВС1 и А1В1С параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и А1В1С, если известно, что АС = 1, ВС = 2, АВ = СС1 = 3.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба.
б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде SABC точка Е — середина ребра SA, точка F — середина ребра SB, О — точка пересечения медиан треугольника АВС.
а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т — середина SC, пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна а SB = 10.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость α параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 1, считая от точки D.
б) Найдите синус угла между плоскостью α и плоскостью ASC, если угол SAC равен 30°.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью DCC1 угол 30°.
б) Найдите угол между плоскостями MNO и DCC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой BD1.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB1 и B1D.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ACC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.
а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.
б) Найдите объем пирамиды, если боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания, образуют двугранный угол 120°, а боковая грань, составляющая с плоскостью основания угол в 30°, имеет площадь 36 см 2 .
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем BC = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что P — середина BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если SD = 9.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D — середина ребра CC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах AA1 и A1C1 выбраны точки M и N соответственно так, что AM = A1N = 2.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ACC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ADD1.