Что такое точный куб в математике

Куб (алгебра)

Кубом числа называется результат умножения числа на само себя трижды (возведения числа в степень 3). Куб величины обозначается так:

.

Содержание

Последовательность кубов

Далее приведено начало числовой последовательности для кубов неотрицательных чисел (последовательность A000578 в OEIS):

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии [1] . Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблица умножения и арифметическая прогрессия
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

Геометрический смысл

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Некоторые свойства

  • В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
  • В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 чётная
2, 6 нечётная
1, 3, 7, 9 любая

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Куб (алгебра)» в других словарях:

Квадрат (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Квадрат (значения). y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25 Квадратом числа называется результат умножения числа на себя (воз … Википедия

Список статей по математической логике — Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не ус … Википедия

Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Параллелепипед — (от греч. παράλλος параллельный и греч. επιπεδον плоскость) призма, основанием которо … Википедия

МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

8 (число) — 8 восемь 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 Факторизация: 2×2×2 Римская запись: VIII Двоичное: 1000 Восьмеричное: 10 Шестнадцатеричное: 8 … Википедия

Тетраэдр — (греч. τετραεδρον четырёхгранник) простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Содержание 1 Связанные определения … Википедия

Карта Карно — Рис. 1 Пример Куба Карно Куб Карно графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного… … Википедия

Восемь — 8 восемь 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 Факторизация: 2×2×2 Римская запись: VIII Двоичное: 1000 Восьмеричное: 10 Шестнадцатеричное … Википедия

Источник

Определение идеального квадрата и идеального куба

Идеальный или полный квадрат — это такое натуральное число, квадратный корень которого является целым числом. Идеальный куб — такое целое число, кубический радикал которого также целое число. В этой статье мы обозначим квадратный корень привычным sqrt, а кубический — необычным cube.

Идеальный квадрат

Итак, чтобы понять, является ли число идеальным квадратом, требуется вычислить его квадратный корень. Как это сделать? Для небольших чисел легко просто задаться вопросом, какое число требуется возвести в квадрат, чтобы получилось заданное? К примеру, 49. Очевидно, что 49 — идеальный квадрат 7 × 7, и это известно нам еще с таблицы умножения. Но что делать с большими числами, к примеру, 1156 — это идеальный квадрат или нет? Рассмотрим простой способ ручного определения «квадратности» числа.

Разложение на квадратные множители

Обычно при разложении на множители используются простые числа — элементы, которые делятся только на себя и на единицу. К простым относятся числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее, последовательность неделимых устремляется в бесконечность. Однако в теории чисел существует множество самых разных последовательностей. Самая известная — это последовательность натуральных чисел, которые используются при счете предметов. Затем идет чет/нечет, простые и совершенные числа и наконец фигурные числа. Фигурные, а именно квадратные числа, нам и нужны для разложения на множители. Квадратная последовательность представляет собой ряд идеальных квадратов. Ее начало выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289.

Первый член последовательности — это единица, которая является квадратом самой себя, 4 — это квадрат двойки, 9 — тройки, 16 — четверки, 25 — пятерки и так далее. При вычислении квадратного корня нам понадобится разложить подкоренное число на квадратные множители, то есть числа из данной последовательности, начиная с наименьшего. Алгоритм вычислений следующий:

  • делим подкоренное число на квадратное до тех пор, пока не получим простое или квадратное частное;
  • представляем подкоренной элемент в виде произведения квадратных чисел;
  • определяем радикалы и вычисляем произведение.

Наше число 1156 разделим вначале на 4. Получим 289. Отлично, 1156 можно представить в виде произведения двух квадратных чисел:

Согласно первому тождественному преобразованию мы можем беспрепятственно взять корни с правой и с левой сторон числового равенства. Получим:

Подкоренное произведение можно представить в виде произведения корней:

Квадратные корни 4 и 289 мы знаем и так — это 2 и 17. Таким образом, радикал 1156 выражается как:

Число 34 — целое, поэтому 1156 считается идеальным квадратом. Давайте проделаем те же действия с 832. Разложим на квадратные множители:

Итак, мы можем представить 832 в виде произведения трех чисел 4 × 16 × 13. Два из них квадратные, но 13 — простое число. Тогда sqrt(832) будет выглядеть как 2 × 4 × sqrt(13) или 8 квадратных корней из 13. Очевидно, что 832 — это не идеальный квадрат, так как его радикал представляет собой иррациональное число.

Кубический корень

Кубические радикалы вычислять сложнее, и нет такого простого способа, при помощи которого было бы легко подсчитать значение корня для достаточно большого числа. Проще всего кубические корни определяются методом оценки. Данный метод также оперирует последовательностью, но в этот раз кубической:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197.

Оценка подразумевает приблизительное значение радикала, которое находится в диапазоне между кубическими числами. К примеру, чему равен кубический корень числа 400? Его нет в нашей последовательности, поэтому мы можем оценить, что значение cube(400) лежит между 7 и 8, так как числа 343 и 512 представляют собой идеальные кубы 7 × 7 × 7 и 8 × 8 × 8. Так как 400 ближе к 343, то и cube(400) будет ближе к 7, следовательно, мы можем предположить, что значение cube(400) приблизительно равно 7,3. Если проверить на калькуляторе, то окажется, что кубический радикал 400 равен 7,368062. Неплохой результат для приблизительных подсчетов.

В целом же определение идеального куба заключается в поиске его значения в последовательности кубические чисел. Если его там нет, то заданное число не является кубом. Так как вручную это определить сложно, проще всего пользоваться нашим калькулятором идеальных кубов и квадратов.

Наша программа позволяет определить, является ли число полным квадратом или кубом. Естественно, что для малых чисел до 1 000 такой калькулятор может не пригодиться, ведь большинство и так помнят начала соответствующих последовательностей. Но что делать с действительно большими числами? Именно для них и разработан наш инструмент. Рассмотрим примеры.

Вычисление полных квадратов

Давайте попробуем узнать, являются ли следующие числа особенными. Для этого введем их в форму калькулятора и протестируем:

  • 795 412 не полный квадрат;
  • 103 041 = 321 × 321;
  • 354 897 не полный квадрат;
  • 443 556 = 666 × 666;
  • 6 241 = 79 × 79.

Таким образом можно проверить любое, сколь угодно большое число.

Источник

Таблица кубов

Таблица кубов или таблица возведения чисел в третью степень. Интерактивная таблица кубов и изображения таблицы в высоком качестве.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859
2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299

Таблица кубов

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Скачать таблицу кубов

  • Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
  • Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Добавить комментарий

Adblock
detector