Что такое цикл куба

Циклы, связанные кубом

В теории графов , то куб соединенные циклы представляет собой неориентированный кубический граф , образованный путем замены каждую вершины из в гиперкубе графа с помощью цикла . Он был введен Препаратой и Вуйлемином (1981) для использования в качестве сетевой топологии в параллельных вычислениях .

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

Связанные кубом циклы порядка n (обозначаемые CCC _n ) могут быть определены как граф, сформированный из набора из n 2 n узлов, индексированных парами чисел ( x , y ), где 0 ≤ x n и 0 ≤ y ( x , ( y + 1) mod n ) , ( x , ( y — 1) mod n ) и ( x ⊕ 2 y , y ) , где «⊕» обозначает побитовую операцию исключающего ИЛИ над двоичными числами.

Этот граф также можно интерпретировать как результат замены каждой вершины n- мерного графа гиперкуба циклом n- вершин. Вершины графа гиперкуба нумеруются числами x , а позиции в каждом цикле — числами y .

Свойства [ править ]

Куб соединенных циклов порядка п является граф Кэли из группы , которая действует на двоичных слов длины п путем вращения и листать битами слова. [1] Генераторы, используемые для формирования этого графа Кэли из группы, представляют собой элементы группы, которые действуют, поворачивая слово на одну позицию влево, вращая его на одну позицию вправо или переворачивая его первый бит. Поскольку это граф Кэли, он является вершинно-транзитивным : существует симметрия графа, отображающего любую вершину в любую другую вершину.

Диаметр куба соединенных циклов порядка п является 2 п + ⌊n / 2⌋ — 2 для любого п ≥ 4; самая дальняя точка от ( x , y ) — это (2 n — x — 1, ( y + n / 2) mod n ). [2] Sýkora & Vrťo (1993) показали, что число пересечения CCC _n равно ((1/20) + o (1)) 4 n .

Согласно гипотезе Ловаса , куб-связный граф циклов всегда должен содержать гамильтонов цикл , и теперь это известно, что это правда. В более общем смысле, хотя эти графы не являются панциклическими , они содержат циклы всех возможных четных длин, кроме ограниченного числа, а когда n нечетно, они также содержат многие из возможных нечетных длин циклов. [3]

Приложение для параллельной обработки [ править ]

Циклы Куб соединенный были исследованы Препаратой & Vuillemin (1981) , который применил эти графики в качестве конфигурации межсоединений в виде сети , соединяющей процессоры в параллельном компьютере . В этом приложении циклы, связанные с кубом, обладают преимуществами связности гиперкубов, при этом для каждого процессора требуется только три соединения. Препарата и Вуйлемин показали, что планарный макет, основанный на этой сети, имеет оптимальную сложность площадь × время 2 для многих задач параллельной обработки.

Источник

Циклы, связанные кубом — Cube-connected cycles

В теория графов, то кубические циклы является ненаправленный кубический граф, образованный заменой каждого вершина из граф гиперкуба по цикл. Он был представлен Препарата и Вуйлемин (1981) для использования в качестве топология сети в параллельные вычисления.

Содержание

Определение

Куб-связанные циклы порядка п (обозначается CCC_п) можно определить как граф, сформированный из набора п2 п узлы, индексированные парами чисел (Икс, у) где 0 ≤ Икс п и 0 ≤ у (Икс, (у + 1) мод п) , (Икс, (у — 1) мод п) , и (Икс ⊕ 2 у , у) , где «⊕» обозначает побитовый Эксклюзивный или операция с двоичными числами.

Этот граф также можно интерпретировать как результат замены каждой вершины п-мерный граф гиперкуба п-вертексный цикл. Вершины графа гиперкуба нумеруются числами Икс, а позиции внутри каждого цикла — числами у.

Характеристики

Куб-связанные циклы порядка п это Граф Кэли из группа который действует на двоичных словах длины п к вращение и переворачивая кусочки слова. [1] Генераторы, используемые для формирования этого графа Кэли из группы, представляют собой элементы группы, которые действуют, поворачивая слово на одну позицию влево, вращая его на одну позицию вправо или переворачивая его первый бит. Поскольку это граф Кэли, он вершинно-транзитивный: существует симметрия графа, отображающего любую вершину в любую другую вершину.

В диаметр кубически связанных циклов порядка п является 2п + ⌊N / 2⌋ — 2 для любого n ≥ 4; самая дальняя точка от (Икс, у) равно (2 п − Икс − 1, (у + п/ 2) модп). [2] Сикора и Врё (1993) показал, что номер перехода КТС_п равно ((1/20) + o (1)) 4 п .

Согласно Гипотеза Ловаса, куб-связный граф циклов всегда должен содержать Гамильтонов цикл, и теперь это известно. В более общем плане, хотя эти графики не панциклический, они содержат циклы любой длины, кроме ограниченного числа возможных четных длин, а когда п нечетно, они также содержат много возможных нечетных длин циклов. [3]

Приложение для параллельной обработки

Куб-связанные циклы исследовали Препарата и Вуйлемин (1981), который применил эти графики как схема соединения из сеть подключение процессоров в параллельный компьютер. В этом приложении циклы, соединенные кубом, обладают преимуществами связности гиперкубов, при этом для каждого процессора требуется только три соединения. Препарата и Вуйлемин показали, что планарный план, основанный на этой сети, имеет оптимальную площадь × время. 2 сложность для многих задач параллельной обработки.

Источник

Циклы, связанные кубом — Cube-connected cycles

В теория графов, то кубические циклы является ненаправленный кубический граф, образованный заменой каждого вершина из граф гиперкуба по цикл. Он был представлен Препарата и Вуйлемин (1981) для использования в качестве топология сети в параллельные вычисления.

Содержание

Определение

Куб-связанные циклы порядка п (обозначается CCC_п) можно определить как граф, сформированный из набора п2 п узлы, индексированные парами чисел (Икс, у) где 0 ≤ Икс п и 0 ≤ у (Икс, (у + 1) мод п) , (Икс, (у — 1) мод п) , и (Икс ⊕ 2 у , у) , где «⊕» обозначает побитовый Эксклюзивный или операция с двоичными числами.

Этот граф также можно интерпретировать как результат замены каждой вершины п-мерный граф гиперкуба п-вертексный цикл. Вершины графа гиперкуба нумеруются числами Икс, а позиции внутри каждого цикла — числами у.

Характеристики

Куб-связанные циклы порядка п это Граф Кэли из группа который действует на двоичных словах длины п к вращение и переворачивая кусочки слова. [1] Генераторы, используемые для формирования этого графа Кэли из группы, представляют собой элементы группы, которые действуют, поворачивая слово на одну позицию влево, вращая его на одну позицию вправо или переворачивая его первый бит. Поскольку это граф Кэли, он вершинно-транзитивный: существует симметрия графа, отображающего любую вершину в любую другую вершину.

В диаметр кубически связанных циклов порядка п является 2п + ⌊N / 2⌋ — 2 для любого n ≥ 4; самая дальняя точка от (Икс, у) равно (2 п − Икс − 1, (у + п/ 2) модп). [2] Сикора и Врё (1993) показал, что номер перехода КТС_п равно ((1/20) + o (1)) 4 п .

Согласно Гипотеза Ловаса, куб-связный граф циклов всегда должен содержать Гамильтонов цикл, и теперь это известно. В более общем плане, хотя эти графики не панциклический, они содержат циклы любой длины, кроме ограниченного числа возможных четных длин, а когда п нечетно, они также содержат много возможных нечетных длин циклов. [3]

Приложение для параллельной обработки

Куб-связанные циклы исследовали Препарата и Вуйлемин (1981), который применил эти графики как схема соединения из сеть подключение процессоров в параллельный компьютер. В этом приложении циклы, соединенные кубом, обладают преимуществами связности гиперкубов, при этом для каждого процессора требуется только три соединения. Препарата и Вуйлемин показали, что планарный план, основанный на этой сети, имеет оптимальную площадь × время. 2 сложность для многих задач параллельной обработки.

Источник

Циклы, связанные кубом — Cube-connected cycles

В теории графов , то куб соединенные циклы представляет собой неориентированный кубический граф , образованный путем замены каждую вершины из в гиперкубе графа с помощью цикла . Он был введен Препаратой и Вуйлемином (1981) для использования в качестве сетевой топологии в параллельных вычислениях .

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Связанные кубом циклы порядка n (обозначаемые CCC _n ) могут быть определены как граф, сформированный из набора из n 2 n узлов, индексированных парами чисел ( x , y ), где 0 ≤ x n и 0 ≤ y ( x , ( y + 1) mod n ) , ( x , ( y — 1) mod n ) и ( x ⊕ 2 y , y ) , где «⊕» обозначает побитовое операция исключающее ИЛИ с двоичными числами.

Этот граф также можно интерпретировать как результат замены каждой вершины n- мерного графа гиперкуба циклом n- вершин. Вершины графа гиперкуба нумеруются числами x , а позиции в каждом цикле — числами y .

Характеристики

Куб соединенных циклов порядка п является граф Кэли из группы , которая действует на двоичных слов длины п путем вращения и листать битами слова. Генераторы, используемые для формирования этого графа Кэли из группы, представляют собой элементы группы, которые действуют, поворачивая слово на одну позицию влево, вращая его на одну позицию вправо или переворачивая его первый бит. Поскольку это граф Кэли, он является вершинно-транзитивным : существует симметрия графа, отображающего любую вершину в любую другую вершину.

Диаметр куба соединенных циклов порядка п является 2 п + ⌊n / 2⌋ — 2 для любого п ≥ 4; самая дальняя точка от ( x , y ) — это (2 n — x — 1, ( y + n / 2) mod n ). Sýkora & Vrťo (1993) показали, что число пересечений CCC _n равно ((1/20) + o (1)) 4 n .

Согласно гипотезе Ловаса , куб-связный граф циклов всегда должен содержать гамильтонов цикл , и теперь это известно, что это правда. В более общем смысле, хотя эти графы не являются панциклическими , они содержат циклы всех возможных четных длин, кроме ограниченного числа, а когда n нечетно, они также содержат многие из возможных нечетных длин циклов.

Приложение для параллельной обработки

Циклы Куб соединенный были исследованы Препаратой & Vuillemin (1981) , который применил эти графики в качестве конфигурации межсоединений в виде сети , соединяющей процессоры в параллельном компьютере . В этом приложении циклы, связанные с кубом, обладают преимуществами связности гиперкубов, при этом для каждого процессора требуется только три соединения. Препарата и Вуйлемин показали, что планарный макет, основанный на этой сети, имеет оптимальную сложность площадь × время 2 для многих задач параллельной обработки.

Источник

Теория графов. Термины и определения в картинках

В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями Теории графов. Каждый термин схематично показан на картинках.

Самый объёмный модуль на курсе «Алгоритмы и структуры данных» посвящён теории графов.

Граф — это топологичекая модель, которая состоит из множества вершин и множества соединяющих их рёбер. При этом значение имеет только сам факт, какая вершина с какой соединена.

Например, граф на рисунке состоит из 8 вершин и 8 рёбер.

Очень многие задачи могут быть решены используя богатую библиотеку алгоритмов теории графов. Для этого достаточно лишь принять объекты за вершины, а связь между ними — за рёбра, после чего весь арсенал алгоритмов теории графов к вашим услугам: нахождение маршрута от одного объекта к другому, поиск связанных компонент, вычисление кратчайших путей, поиск сети максимального потока и многое другое.

В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями теории графов. На курсе “Алгоритмы и Структуры данных” в компании Отус “Теория графов” изучается в самом объёмном модуле из 6 вебинаров, где мы изучаем десяток самых популярных алгоритмов.

Вершина — точка в графе, отдельный объект, для топологической модели графа не имеет значения координата вершины, её расположение, цвет, вкус, размер; однако при решении некоторых задачах вершины могут раскрашиваться в разные цвета или сохранять числовые значения.

Ребро — неупорядоченная пара двух вершин, которые связаны друг с другом. Эти вершины называются концевыми точками или концами ребра. При этом важен сам факт наличия связи, каким именно образом осуществляется эта связь и по какой дороге — не имеет значения; однако рёбра может быть присвоен “вес”, что позволит говорить о “нагруженном графе” и решать задачи оптимизации.

Инцидентность — вершина и ребро называются инцидентными, если вершина является для этого ребра концевой. Обратите внимание, что термин “инцидентность” применим только к вершине и ребру.

Смежность вершин — две вершины называются смежными, если они инцидентны одному ребру.

Смежность рёбер — два ребра называются смежными, если они инцедентны одной вершине.

Говоря проще — две вершины смежные, если они соединены ребром, два ребра смежные — если они соединены вершиной.

Петля — ребро, инцидентное одной вершине. Ребро, которое замыкается на одной вершине.

Псевдограф — граф с петлями. С такими графами не очень удобно работать, потому что переходя по петле мы остаёмся в той же самой вершине, поэтому у него есть своё название.

Кратные рёбра — рёбра, имеющие одинаковые концевые вершины, по другому их называют ещё параллельными.

Мультиграф — граф с кратными рёбрами.

Псевдомультиграф — граф с петлями и кратными рёбрами.

Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных указанной вершине. По-другому — количество рёбер, исходящих из вершины. Петля увеливает степень вершины на 2.

Изолированная вершина — вершина с нулевой степенью.

Висячая вершина — вершина со степенью 1.

Подграф. Если в исходном графе выделить несколько вершин и несколько рёбер (между выбранными вершинами), то мы получим подграф исходного графа.

Идея подграфов используется во многих алгоритмах, например, сначала создаётся подграф их всех вершин без рёбер, а потом дополняется выбранными рёбрами.

Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены одним ребром.

Сколько рёбер в полном графе? Это известная задача о рукопожатиях: собралось N человек (вершин) и каждый с каждым обменялся рукопожатием (ребро), сколько всего было рукопожатий? Вычисляется как сумма чисел от 1 до N — каждый новый участник должен пожать руку всем присутствующим. Сумму нужно разделить на два, так как в этом случае каждое рукопожатие посчитается дважды: N * (N — 1) / 2.

Регулярный граф — граф, в котором степени всех вершин одинаковые.

Двудольный граф — если все вершины графа можно разделить на два множества таким образом, что каждое ребро соединяет вершины из разных множеств, то такой граф называется двудольным. Например, клиент-серверное приложение содержит множество запросов (рёбер) между клиентом и сервером, но нет запросов внутри клиента или внутри сервера.

Планарный граф. Если граф можно разместить на плоскости таким образом, чтобы рёбра не пересекались, то он называется “планарным графом” или “плоским графом”.

Если это невозможно сделать, то граф называется “непланарным”.

Минимальные непланарные графы — это полный граф К5 из 5 вершин и полный двудольный граф К3,3 из 3+3 вершин (известная задача о 3 соседях и 3 колодцах). Если какой-либо граф в качестве подграфа содержит К5 или К3,3, то он является непланарным.

Путь или Маршрут — это последовательность смежных рёбер. Обычно путь задаётся перечислением вершин, по которым он пролегает.

Длина пути — количество рёбер в пути.

Цепь — маршрут без повторяющихся рёбер.

Простая цепь — цепь без повторяющихся вершин.

Цикл или Контур — цепь, в котором последняя вершина совпадает с первой.

Длина цикла — количество рёбер в цикле.

Самый короткий цикл — это петля.

Цикл Эйлера — цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Эйлер доказал, что такой цикл существует тогда, и только тогда, когда все вершины в связанном графе имеют чётную степень.

Цикл Гамильтона — цикл, проходящий через все вершины графа по одному разу. Другими словами — это простой цикл, в который входят все вершины графа.

Взвешенный граф — граф, в котором у каждого ребра и/или каждой вершины есть “вес” — некоторое число, которое может обозначать длину пути, его стоимость и т. п. Для взвешенного графа составляются различные алгоритмы оптимизации, например поиск кратчайшего пути.

Пока ещё не придуман алгоритм, который за полиномиальное время нашёл бы кратчайший цикл Гамильтона в полном нагруженном графе, однако есть несколько приближённых алгоритмов, которые за приемлимое время находят если не кратчайший, то очень короткий цикл, эти алгоритмы мы также рассматриваем на курсе Отуса — “Алгоритмы и структуры данных”.

Связный граф — граф, в котором существует путь между любыми двумия вершинами.

Дерево — связный граф без циклов.

Между любыми двумя вершинами дерева существует единственный путь.

Деревья часто используются для организации иерархической структуры данных, например, при создании двоичных деревьев поиска или кучи, в этом случае одну вершину дерева называют корнем.

Лес — граф, в котором несколько деревьев.

Ориентированный граф или Орграф — граф, котором рёбра имеют направления.

Дуга — направленные рёбра в ориентированном графе.

Полустепень захода вершины — количество дуг, заходящих в эту вершину.

Исток — вершина с нулевой полустепенью захода.

Полустепень исхода вершины — количество дуг, исходящих из этой вершины

Сток — вершина с нулевой полустепенью исхода.

Компонента связности — множество таких вершин графа, что между любыми двумя вершинами существует маршрут.

Компонента сильной связности — максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам.

Компонента слабой связности — максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам без учёта направления (по дугам можно двигаться в любом направлении).

Мост — ребро, при удалении которого, количество связанных компонент графа увеличивается.

Это только основные термины и определения теории графов, которые мы рассматриваем на первом вебинаре модуля “Теория графов”. Цель статьи — дать наглядное и понятное представление об этих терминах, для чего и были нарисованы эти картинки.

Источник