Что такое число в виде куба

Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x .

Вообще, фигурные числа – интереснейшая тема . Ставьте лайки этому материалу, если хотите узнать о них больше!

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

  • 729 равно 9 в кубе;
  • 729 равно 3 в шестой степени;
  • 729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

  • 1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;
  • 1728 – единственный композиториал , являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал ( о нем я достаточно интересно уже писал ), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65 2 = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 6 5– это цифра 6 , следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6 (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65 2 = 65 ∙ 65, то

65 2 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65 2 = 4225

Источник

Таблица кубов

Таблица кубов или таблица возведения чисел в третью степень. Интерактивная таблица кубов и изображения таблицы в высоком качестве.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859
2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299

Таблица кубов

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Скачать таблицу кубов

  • Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
  • Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Источник

Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.

Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».

Научимся вычислять квадрат и куб числа.

Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.

Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.

Степень числа

Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.

Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.

В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.

Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.

В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:

а n — это произведение числа а на само себя n раз.

а— любое натуральное число.

Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».

Число а называют основанием (число, возводимое в степень).

n— это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).

Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.

Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.

Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:

4 ∙ 4 4 4 4 = 4 5

Читают данную запись следующим образом:

4 5 четыре в пятой степени.

1)Вычислим значение степени 2 3 , т.е. возведем число два в третью степень.

Данная степень равна произведению трех двоек.

2— основание степени.

3— показатель степени.

2) Вычислим значение степени 5 4 , т.е. возведем число пять в четвертую степень.

Данная степень равна произведению четырех пятерок.

5— основание степени.

4— показатель степени.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Квадрат и куб числа

Вторую степень числа называют квадратом числа.

Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а а = а 2 (говорят и читают «а в квадрате»).

2 2 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».

10 2 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».

27 2 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».

Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в квадрате равняется одному: 1 2 = 1 ∙ 1 = 1.

Два в квадрате равняется четырем: 2 2 = 2 ∙ 2 = 4.

Три в квадрате равняется девяти: 3 2 = 3 ∙ 3 = 9.

Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16.

Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5 2 = 5 ∙ 5 = 25.

Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6 2 = 6 ∙ 6 = 36.

Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7 2 = 7 ∙ 7 = 49.

Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8 2 = 8 ∙ 8 = 64.

Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9 2 = 9 ∙ 9 = 81.

Десять в квадрате равняется сотне: 10 2 = 10 ∙ 10 = 100.

Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел

Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.

Решим уравнение х 2 = 49.

Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).

По таблице квадратов видно, что 49 = 7 2 .

Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.

Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х 2 = 49, получим:

7 ∙ 7 = 49

Ответ: х = 7.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.

Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 10 4 ).

10— это основание.

4— это показатель степени.

Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

10 4 = 1 0000

На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:

10 4 = 1 0 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 0000

Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 10 3 ).

10— это основание.

3— это показатель степени.

Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

10 3 = 1 000

Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:

10 3 = 1 0 1 0 ∙ 1 0 = 1 000

Рассмотрим обратную ситуацию:

Представим число 100 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 00 ).

Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

10— это основание.

2— это показатель степени.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 0000 ).

Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

1 0000 = 10 4

10— это основание.

4— это показатель степени

Третья степень числа тоже имеет свое название.

Число в третьей степени называют кубом числа.

Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а а а = а 3 (говорят и читают «а в кубе»).

2 3 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».

10 3 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».

27 3 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».

Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в кубе: 1 3 = 1 1 1 = 1.

Два в кубе: 2 3 = 2 2 2 = 8.

Три в кубе: 3 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Четыре в кубе: 4 3 = 4 ∙ 4 4 = 64.

Пять в кубе: 5 3 = 5 ∙ 5 5 = 125.

Шесть в кубе: 6 3 = 6 ∙ 6 6 = 216.

Семь в кубе: 7 3 = 7 ∙ 7 7 = 343.

Восемь в кубе: 8 3 = 8 ∙ 8 8 = 512.

Девять в кубе: 9 3 = 9 ∙ 9 9 = 729.

Десять в кубе: 10 3 = 10 ∙ 10 10 = 1000.

Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел

С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.

Представим в виде куба число 343.

По таблице кубов видим, что 343 = 7 3

Проверим: найдем произведение трех семерок:

7 3 = 7 ∙ 7 7 = 49 ∙ 7 = 343

Ответ: 343 = 7 3 .

На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.

Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.

Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.

За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.

Рассмотрим поясняющие примеры.

При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.

Найдите значение выражения 8 2 ÷ 4 — 10.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).

8 2 ÷ 4 — 10 = 6

1) 8 2 = 8 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).

2) 64 ÷ 4 = 16

3) 16 — 10 = 6

Найдите значение выражения (21 — 11) 2 ∙ 2 3 .

Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.

(21 — 11) 2 ∙ 2 3 = 800

Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.

Найдем разность 21 и 11.

1) 21 — 11 = 10

Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.

Найдем, чему равно 10 2 по определению степени или по таблице квадратов.

2) 10 2 = 10 ∙ 10 = 100

Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.

Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.

3) 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Далее перемножим результаты, полученные в во втором и в третьем действии соответственно, т.е. найдем произведение 100 и 8 .

4) 100 ∙ 8 = 800

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.

Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.

Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.

Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)

Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.

Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.

Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.

В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.

В Древней Индии успешно развивалась наука.

Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.

Индийские ученые часто оперировали большими числами.

В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.

Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.

Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.

Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.

В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.

В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».

Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.

Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.

Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.

Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.

Современное обозначение степеней (а n ), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Добавить комментарий

Adblock
detector