Загадки трех точек
Построение сечения куба по трем точкам.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
« Загадка трёх точек» Информационно-исследовательский проект
Цели проекта: построение сечений в кубе, проходящих через три точки; составление задач по теме « Сечение куба плоскостью»; оформление презентации; подготовка выступления.
В геометрии нет царской дороги Евклид
Аксиомы стереометрии Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Для решения многих геометрических задач, связанных с кубом полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает многогранник по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры.
Правила построения сечений многогранников: 1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости; 2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого: а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости); б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
Куб имеет шесть граней. Его сечением могут быть : треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.
Рассмотрим построение этих сечений.
Полученный треугольник EFG будет искомым сечением . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба .
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.
Для построения сечения куба, проходящего через точки лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, достаточно просто соединить данные точки отрезками . В сечении получится треугольник.
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба.
Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , соединим точки E и F . Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC . Соединим точки E и B , F и C .
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B , Соединим отрезками точки E и B , F и B . Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.
Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B , Соединим отрезками точки E и B , F и B . Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.
Плоскость сечения параллельна одному из ребер куба или проходит через ребро (прямоугольник) Плоскость сечения пересекает четыре параллельных ребра куба (параллелограмм)
Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и DC . Обозначим S точку пересечения FR c СС 1. Соединим точки E и Q , G и S .
Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1). Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый). Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую. Пятиугольник MNLPS — искомое сечение .
В сечении куба плоскостью может получится только тот пятиугольник, у которого имеются две пары параллельных сторон.
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и CD . Проведем прямую RF и обозначим S , T её точки пересечения с CC 1 и DD 1. Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A 1 D 1. Соединим точки E и Q , G и S , F и U . Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением .
В сечении куба плоскостью может получится только тот шестиугольник, у которого имеется три пары параллельных сторон.
Дано: M€AA1 , N€B1C1,L€AD Построить: ( MNL)
Урок геометрии по теме: «Построение сечений в многогранниках методом следов». 10-й класс
Девиз: “Мы одна семья, мы учимся все вместе”
Цели урока:
- Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений методом следов.
- Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
- Развитие графической культуры и математической речи.
Обучающая цель: формирование умений и навыков построения сечений методом следов.
Воспитывающая цель: воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.
Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.
Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная, коллективная.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).
Организационный момент: Рассаживаемся на 3 группы по 5 человек. На каждом столе – набор тел, памятки-опоры, карточки для индивидуальной работы по построению сечений.
Слово учителя: Вы изучили аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью. Существует несколько методов построения сечений многогранника плоскостью: метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод.
1) Ребята, я предлагаю вам повторить и вспомнить некоторые геометрические понятия и определения.
- Основное понятие геометрии – место пересечения двух прямых, не имеющее измерения.
- Геометрическая фигура, состоящая из шести квадратных граней.
- Отдельный предмет в пространстве.
- Способ изображения пространственных фигур на плоскость.
- Плоская фигура, образуемая пересечением тела плоскостью.
- Сторона грани многогранника.
- Многогранник, поверхность которого состоит из четырех треугольников.
2) Ребята, перед вами пример неправильного построения сечения куба АС1 плоскостью, проходящей через заданные точки N, C, D1.
А рядом сечение построено верно.
На уроках черчения вы пользовались определением: Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.
Вот таким определением мы и будем пользоваться сегодня на уроке.
В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники, а в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.
Метод следов включает три важных пункта:
- Строится линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.
- Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
- Строим и заштриховываем сечение.
Рассмотрим пример (мультимедийный проектор).
Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.
Алгоритм построения
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Сечение куба плоскостью
Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.
Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.
Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.
1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.
Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.
2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.
Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).
Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).
Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.
Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.
3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).
Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.
Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).
Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.
Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.
Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.
Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.
4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.
Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.
Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.