- Решение задач по математике онлайн
- Калькулятор онлайн. Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
- Решение задач по математике онлайн
- Калькулятор онлайн. Решение квадратного уравнения.
- Немного теории.
- Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
- Формула корней квадратного уравнения
- Теорема Виета
- 2x^3-5x^2-2x+5=0 (уравнение)
- Решение
- Таблица формул сокращенного умножения 👍🐱💻
- Таблица №1. Примеры использования формул сокращающего умножения для 7 класса
- Как сократить формулы сокращённого умножения?
- Другие формулы сокращённого умножения:
- Таблица формул сокращённого умножения для учеников 7 классов
- Группа формул: сумма степеней
- Разность степеней
- Квадрат многочлена
- Квадрат многочлена формула
- Примеры квадрата многочлена
- Куб трёхчлена
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>x + \frac<1><7>x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac
Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin
2x^3-5x^2-2x+5=0 (уравнение)
Найду корень уравнения: 2x^3-5x^2-2x+5=0
Решение
Дано уравнение:
$$\left(- 2 x + \left(2 x^ <3>— 5 x^<2>\right)\right) + 5 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 2 x + \left(\left(- 5 x^ <2>+ \left(2 x^ <3>— 2\right)\right) + 5\right)\right) + 2 = 0$$
или
$$\left(- 2 x + \left(\left(- 5 x^ <2>+ \left(2 x^ <3>— 2 \cdot 1^<3>\right)\right) + 5 \cdot 1^<2>\right)\right) + 2 = 0$$
$$- 2 \left(x — 1\right) + \left(- 5 \left(x^ <2>— 1^<2>\right) + 2 \left(x^ <3>— 1^<3>\right)\right) = 0$$
$$- 2 \left(x — 1\right) + \left(- 5 \left(x — 1\right) \left(x + 1\right) + 2 \left(x — 1\right) \left(\left(x^ <2>+ x\right) + 1^<2>\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -1 + x за скобки
получим:
$$\left(x — 1\right) \left(\left(- 5 \left(x + 1\right) + 2 \left(\left(x^ <2>+ x\right) + 1^<2>\right)\right) — 2\right) = 0$$
или
$$\left(x — 1\right) \left(2 x^ <2>— 3 x — 5\right) = 0$$
тогда:
$$x_ <1>= 1$$
и также
получаем ур-ние
$$2 x^ <2>— 3 x — 5 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_ <2>= \frac <\sqrt
$$x_ <3>= \frac <- \sqrt
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = -5$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$x_ <2>= \frac<5><2>$$
$$x_ <3>= -1$$
Получаем окончательный ответ для 2*x^3 — 5*x^2 — 2*x + 5 = 0:
$$x_ <1>= 1$$
$$x_ <2>= \frac<5><2>$$
$$x_ <3>= -1$$
Таблица формул сокращенного умножения 👍🐱💻
Формулы сокращённого умножения используются для возведения чисел в степень, а также умножения этих чисел и различных выражений. Не редко такие формулы сокращающего умножения помогают вычислять примеры быстрее и компактней.
Нас ищут по таким запросам:
- Квадрат суммы;
- Формулы сокращённого умножения примеры;
- Все формулы сокращённого умножения;
- Формулы сокращённого умножения видео;
- Как быстро выучить формулы сокращённого умножения;
- Задание на формулы сокращённого умножения;
- Задание на формулы сокращённого умножения ВНО;
- Алгебра 7 класс формулы сокращённого умножения;
- Теорема Виета;
- Табличка сокращённого умножения;
- Тригонометрические формулы.
В этой статье рассмотрим самые популярные формулы сокращённого умножения. Затем сгруппируем формулы в табличку и рассмотрим некоторые примеры использования формул сокращающего умножения.
Таблица №1. Примеры использования формул сокращающего умножения для 7 класса
Как сократить формулы сокращённого умножения?
Квадрат суммы двух чисел:
В алгебре приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с помощью формул сокращённого умножения.
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +2ab+b 2 =a 2 +ab+ab+b 2 =a 2 +2ab+b 2 (квадрат суммы двух чисел)
Выражение (a+b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a+b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a+b)(a+b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
Многочлен a 2 +2ab+b 2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 +2xy.
Решение: для того чтобы нам не производить лишних преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
А сейчас, используя правило умножения и возведения в степень одночленов, упростим это выражение:
Квадрат разности двух чисел:
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 (квадрат разности двух чисел)
Выражение (a—b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a—b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a—b)(a—b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
Многочлен a 2 -2ab+b 2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности двух чисел в виде трёхчлена:
Решение: используя формулу квадрата разности двух чисел находим:
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:
Разность квадратов двух чисел
a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) (разность квадратов двух чисел)
Выражение a 2 —b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 —b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
При решении практических примеров в алгебре зачастую применяют формулы сокращённого умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. На практике первые три формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от конкретной ситуации.
Формулы сокращённого умножения частенько называют тождествами сокращённого умножения. И здесь нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
Сумма квадратов двух чисел бывает двух типов:
a 2 +b 2 =(a+bi)(a-bi)
(1) a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab (сумма двух квадратов)
Другие формулы сокращённого умножения:
(a+b-c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab-2ac-2bc
Куб суммы двух чисел
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (куб суммы двух чисел)
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.
(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Пример выражения:
a) (m+2n) 3 =m 3 +3·m 2 ·2n+3·m·(2n) 2 +(2n) 3 =m 3 +6m 2 n+12mn 2 +8n 3
б) (3x+2y) 3 =(3x) 3 +3·(3x) 2 ·2y+3·3x·(2y) 2 +(2y) 3 =27x 3 +54x 2 y+36xy 2 +8y 3
Куб разности двух чисел
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 (куб разности двух чисел)
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
Пример выражения:
а) (2x–y) 3 =(2x) 3 -3·(2x) 2 ·y +3·2x·y 2 –y 3 =8x 3 –12x 2 y+6xy 2 –y 3
б) (x–3n) 3 =x 3 -3·x 2 ·3n+3·x·(3n) 2 –(3n) 3 =x 3 –9x 2 n+27xn 2 –27n 3
Сумма кубов двух чисел
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) (сумма кубов)
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы самих чисел на неполный квадрат их разности.
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )
Пример выражения:
a) 125 + 8x 3 = 5 3 + (2x) 3 = (5 + 2x)(5 2 — 5·2x + (2x) 2 ) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x 2 )
б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m 2 ) = 1 3 + (3m) 3 = 1 + 27m 3
Разность кубов двух чисел
a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 ) (разность кубов)
Разность кубов двух чисел равна произведению разности самих чисел на неполный квадрат их суммы.
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 )
Пример выражения:
а) 64с 3 – 8 = (4с) 3 – 2 3 = (4с – 2)((4с) 2 + 4с·2 + 2 2 ) = (4с – 2)(16с 2 + 8с + 4)
б) (3a – 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ) = (3a) 3 – (5b) 3 = 27a 3 – 125b 3
Формула для нахождения четвертой степени суммы двух чисел имеет вид:
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Формула для нахождения четвертой степени разности двух чисел имеет вид:
(a — b) 4 = a 4 — 4a 3 b + 6a 2 b 2 — 4ab 3 + b 4
Данные формулы сокращённого умножения доказываются путём раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых .
Таблица формул сокращённого умножения для учеников 7 классов
Рассмотрим семь основных формул сокращённого умножения, которые изучают ученики на уроках алгебры в 7 классе:
Таблица формул сокращённого умножения
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:
Выражение 
в алгебре принято называть неполным квадратом разности. Если умножить сумму двух чисел на неполный квадрат разности этих чисел, то получим формулу суммы кубов.
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:
Выражение 
в алгебре, принято называть неполным квадратом суммы. Если умножить разность двух чисел на неполный квадрат суммы этих чисел, то получим формулу разности кубов.
Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы:
Группа формул: сумма степеней
Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y) 2 = (x + y)(x + y) , (x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) , (x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y) |
Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 2. – Сумма степеней
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы | (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 |
| Пятая степень суммы | (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 |
| Шестая степень суммы | (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 |
Общая формула для вычисления суммы
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Разность степеней
Если в формулах из Таблицы 2 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Разность степеней» (Таблица 3.):
Таблица 3. – Разность степеней
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности | (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 |
| Четвертая степень разности | (x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4 |
| Пятая степень разности | (x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5 |
| Шестая степень разности | (x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6 |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :
Квадрат многочлена формула
Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.
Примеры квадрата многочлена
Куб трёхчлена
Следующая формула называется «Куб трёхчлена» :